Przekształcenie liniowe - sprawdzenie

[pabblo]

Witam.
Przekształcenie liniowe ma w bazie \(\displaystyle{ e _{1}=(1,0,0), e _{2}=(1,1,0), e _{3}=(1,1,1)}\) macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&0\\0&0&1\\1&0&0\end{array}\right]}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ L(3,2,1)}\).

1. Zapisuje przekształcenie jako równanie:
\(\displaystyle{ L(x,y,z)= (x+2y,z,x)}\)
2. Liczę przekształcenie od bazy standardowej i zapisuje ja jako kombinacje liniową wektorów ze "starej" bazy.

\(\displaystyle{ L(1,0,0)= (1,0,1)=1 \cdot e _{1}-1 \cdot e _{2}+1 \cdot e _{3}\\
L(0,1,0)= (2,0,0)=2 \cdot e _{1}+0 \cdot e _{2}+0 \cdot e _{3} \\
L(0,0,1)= (0,1,0)=-1 \cdot e _{1}+1 \cdot e _{2}+0 \cdot e _{3}}\)

3. Macierz przekształcenia w nowej bazie stanowią pionowo zapisane współczynniki.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&-1\\-1&0&1\\1&0&0\end{array}\right]}\)

4. Zapisuje macierz w nowej bazie jako równanie:
\(\displaystyle{ L(x,y,z)= (x+2y-z,-x+z,x)}\)

5. Liczę \(\displaystyle{ L(3,2,1)}\) w bazie standardowej.
\(\displaystyle{ L(3,2,1)= (6,-1,3)}\)


Czy to rozwiązanie jest poprawne?