Układ równań z parametrem

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: blade »

Zbadaj w zależności od parametru \(\displaystyle{ p \in \RR}\) liczbę rozwiązań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x_1+px_2+2x_3+2x_5=-2\\ 2x_1+px_2+2x_3+px_5=0\\-2x_1-px_2-3x_3+px_4-2x_5=3\\-4x_1-(1+p)x_2-x_3-3x_4-2x_5=-3\end{cases}}\)

W przypadku, gdy układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od 2 parametrów, wyznacz zbiór tych rozwiązań stosując metodę Gaussa.

No to lecimy :
LICZYMY RZĄD:    
Gdy \(\displaystyle{ p=2}\) :
rząd macierzy \(\displaystyle{ A=3}\) i jest różny od rzędu macierzy \(\displaystyle{ U=4}\) czyli mamy sprzeczność dla \(\displaystyle{ p=2}\).

Gdy \(\displaystyle{ p\neq2}\) :
\(\displaystyle{ rz A = rz U = 4<n=5}\) - nieoznaczony - ale zależny tylko od jednego parametru..

Kiedy niby mój układ będzie zależny od 2 parametrów? Bez tego nie mogę ruszyć drugiej części zadania..
Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: Benny01 »

Zobacz, że przy jednym schodku na Twojej drodze stoi \(\displaystyle{ p-1}\).
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: blade »

Rzeczywiście, dziękuję :

\(\displaystyle{ p=1 :}\)

W macierzy \(\displaystyle{ U}\) dodałem 3 razy wiersz trzeci do wiersza drugiego. Następnie zmieniłem kolejność wierszy.

\(\displaystyle{ U=\left[\begin{array}{ccccc}2&1&2&0&2\\0&0&-1&1&0\\0&0&0&0&2\\0&0&0&0&-1\end{array}\right.\left|\begin{array}{c}-2\\1\\-4\\4\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccccc}2&1&2&0&2\\0&0&-1&1&0\\0&0&0&0&2\\0&0&0&0&-1 \end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ rz A = rz U = 3 < n=5}\) nieoznaczony zależny od 2 parametrów. Do rozwiązania wykorzystamy macierz \(\displaystyle{ U}\).

\(\displaystyle{ x_5=-4 \\
-8\neq-4}\)


Gdzie źle policzyłem? bo nie mogę zlokalizować błędu, a jednak wychodzi sprzeczność.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ U=\left[\begin{array}{cccccc}2&1&2&0&2&-2\\0&0&-1&1&0&1\\0&0&0&0&2&-4\\0&0&0&0&-1&4\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{cccccc}2&1&2&0&2&-2\\0&0&-1&1&0&1\\0&0&0&0&2&-4\\0&0&0&0&0&2\end{array}\right]}\)


\(\displaystyle{ rz A =3 \wedge rz U = 4}\)
Układ jest sprzeczny.
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: blade »

Racja, co w takim razie z tymi 2 parametrami? Po prostu "Układ równań nigdy nie będzie zależny od 2 parametrów" (zadanie podchwytliwe) ?

-- 19 cze 2016, o 19:01 --

Chyba jednak możemy jeszcze rozważyć \(\displaystyle{ p=0}\). Sprawdzę to.

-- 19 cze 2016, o 19:12 --

\(\displaystyle{ U=\left[\begin{array}{cccccc}2&0&2&0&2&-2\\0&-1&3&-3&2&-7\\0&0&-1&0&0&1\\0&0&0&0&-2&4\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cccccc}2&0&2&0&2\\0&-1&3&-3&2\\0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-2\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ rz U=4}\) (wykreślając kolejno wiersze i kolumny (laplace) )
Tak samo :
\(\displaystyle{ rz A=4}\)

Zatem nieoznaczony zależny od 1 parametru..
Nadal nie mam nieoznaczonego zależnego od 2 parametrów :/.
Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: Benny01 »

Na samym początku jak przekształcałeś macierz, źle odjąłeś, sprawdź drugi wiersz
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: blade »

Rzeczywiście, na samym starcie się pomylić .
Metoda jest ogólnie dobra w takim przypadku, chyba nie ma żadnego "sposobu", aby to szybciej załatwić?

Do tego zadania dołączona jest jeszcze treść :

Uzasadnij dla jakiego p, wektor \(\displaystyle{ (-2,0,3,-3)}\) należy do \(\displaystyle{ lin\{(2,2,-2,-4),(p,p,-p,-1-p),(2,2,-3,-1),(0,0,p,-3),(2,p,-2,-2)\}}\)

Zauważam, że to jest ten sam układ co u góry, a rozważany wektor to wyrazy wolne tego układu, zatem dla każdego \(\displaystyle{ p \in \RR \setminus \{1,2\}}\) Czyli wtedy gdy układ ma jakieś rozwiązanie. Czy to dobre uzasadnienie?
Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: Benny01 »

Czemu wyrzucasz \(\displaystyle{ p=1}\)?
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: blade »

Dla \(\displaystyle{ p=1}\) układ wyszedł sprzeczny (przyjmując że się nie pomyliłem na samym początku)
Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: Benny01 »

No właśnie dla tego \(\displaystyle{ p=1}\) wychodzi układ zależny od dwóch parametrów. Dolicz do końca.
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: blade »

Ok. Zrobię od nowa.
RZĄD:    
\(\displaystyle{ p=2 \rightarrow rz \ A=3 \neq 4=rz \ U}\) sprzeczność.

\(\displaystyle{ p=1 \rightarrow rz \ A=3 = rz \ U <n=5}\) - 2 parametry

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccc}2&1&2&0&2&-2\\0&0&3&-3&2&-7\\0&0&-1&1&0&1\\0&0&0&0&-1&1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}x_5=-1\\x_3=x_4-1 \\ 3x_3 -3x_4+2x_5=-7\\ 2x_1 +x_2 +x_3 -2 = -2\end{cases} \rightarrow \begin{cases}x_5=-1\\x_4=1+x_3 \\ -5= -7 \\ x_2=1-2x_1-x_4\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x_3,x_4 \in \RR}\) - parametry

Tam gdzieś jest błąd, bo nie powinno być \(\displaystyle{ -7}\), ale już nie będę szukał błędu.

Wtedy druga część :
Dla \(\displaystyle{ p\neq 2}\) bo wtedy układ ma rozwiązanie, zatem wektor może należeć do tej powłoki liniowej.
nejfan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 14 lis 2015, o 00:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 1 raz

Układ równań z parametrem

Post autor: nejfan »

Czy dla formalności nie powinno się jeszcze rozważyć sytuacji, w której \(\displaystyle{ p=0}\)?
Wtedy \(\displaystyle{ rzA=rzU=4}\)
A w poleceniu mamy zbadać liczbę rozwiązań w zależności od parametru.
Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: Benny01 »

\(\displaystyle{ p=0}\) nie zmieni Ci liczby schodków.
ODPOWIEDZ