Który wektor stanowi bazę przestrzeni?

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Niejestempewien
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 19 cze 2016, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Który wektor stanowi bazę przestrzeni?

Post autor: Niejestempewien »

Zadanie:
Wyznaczyć współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{v}=(3,5,5)}\) w bazie przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V=\left\{(x+y+z, 3x-y+z, x+3y+2z):x,y,z\in R\right\}}\)

ok, to wyciągam wektory definicji

\(\displaystyle{ \vec{e_{1}} = (1,1,1)
\vec{e_{2}} =(3,-1,1)
\vec{e_{3}} =(1,3,2)}\)


liczę wyznacznik macierzy utworzonej z tych wektorów - wychodzi 0, więc są liniowo zależne. I teraz wszystkie one są parami liniowo niezależne. Które mam więc wybrać do stworzenia bazy tej przestrzeni liniowej?

Jeżeli skorzystam z e1 i e2 to wynikiem zadania będzie (3,0) a jeżeli z e1, e3 to (1,2). Podejrzewam, że źle dobieram bazę przestrzeni - na jakiej podstawie więc zadecydować które wektory mają stanowić bazę?
Ostatnio zmieniony 19 cze 2016, o 15:46 przez Niejestempewien, łącznie zmieniany 1 raz.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Który wektor stanowi bazę przestrzeni?

Post autor: a4karo »

O tym jakie wektory stanowią bazę decydujesz Ty. I w zależności od wyboru bazy dostaniesz różne przedstawienia, o ile tylko dany wektor leży w danej przestrzeni i nie jest wektorem zerowym.

Natomiast powinieneś zadać sobie pytanie, czy wektory \(\displaystyle{ e_1,\ e_2,\ e_3}\) leżą w tej przestrzeni (bo to wcale nie jest oczywiste, a nawet wygląda na nieprawdę )?
Niejestempewien
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 19 cze 2016, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Który wektor stanowi bazę przestrzeni?

Post autor: Niejestempewien »

a4karo pisze: Natomiast powinieneś zadać sobie pytanie, czy wektory \(\displaystyle{ e_1,\ e_2,\ e_3}\) leżą w tej przestrzeni (bo to wcale nie jest oczywiste, a nawet wygląda na nieprawdę )?

Tzn jeżeli weźmiemy wektory \(\displaystyle{ e_1,\ e_2}\) to nam wyjdzie że wektor \(\displaystyle{ e_3}\) rzeczywiście w niej nie leży, podobnie - jeżeli bazą będą \(\displaystyle{ e_3,\ e_2}\) a tym sprawdzanym wektorem \(\displaystyle{ e_1}\). Jeżeli jednak baza to \(\displaystyle{ e_1,\ e_3}\) wtedy \(\displaystyle{ e_2}\) w niej leży. Proszę o informację, czy to oznacza, że do rozwiązania tego zadania należy użyć jako bazy \(\displaystyle{ e_1,\ e_3,}\) ?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Który wektor stanowi bazę przestrzeni?

Post autor: a4karo »

Nie możęsz wziąć żabnych z tych wektorów jako bazy dopóki nie sprawdzisz, czy leżą one w przestrezni.

Sprawdzenie polega na znalezieniu takich \(\displaystyle{ x,y,z}\), żeby \(\displaystyle{ (x+y+z, 3x-y+z, x+3y+2z)=e_1}\), etc.

Wskazówka: mozną prościej wybrac bazę tej przestrzeni (popatrz na kolumny)
Niejestempewien
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 19 cze 2016, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Który wektor stanowi bazę przestrzeni?

Post autor: Niejestempewien »

teraz widzę, że kompletnie źle się za to zabrałem.
Wektorami powinny być \(\displaystyle{ \vec{e_{x}} = (1,3,1) \vec{e_{y}} =(1,-1,3) \vec{e_{z}} =(1,1,2)}\)

ale to nie rozwiązuje mojego problemu bo te wektory też nie tworzą bazy przestrzeni, a nie wiem których użyć do przekształcenia danego wektora na tę przestrzeń(wszystkie 3 spełniają równanie \(\displaystyle{ (x+y+z, 3x-y+z, x+3y+2z)=\vec{e}}\))?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Który wektor stanowi bazę przestrzeni?

Post autor: a4karo »

Najpierw sprawdź, czy wektor, który masz przedstawić leży w tej przestrzeni. Inaczej cała praca jest psu na budę.
Niejestempewien
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 19 cze 2016, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Który wektor stanowi bazę przestrzeni?

Post autor: Niejestempewien »

Przepraszam, że tak się rozpisuję, ale po prostu staram się zrozumieć.
Sprawdziłem - dany wektor \(\displaystyle{ \vec{v}=(3,5,5)}\) leży w danej przestrzeni liniowej. Jaki wniosek powinienem z tego wyciągnąć?

Ale właściwie nie rozumiem jak to się ma do zadania. Patrząc na rozwiązania podobnych zadań znajduję informację o tym, że należy znaleźć bazy podanych przestrzeni liniowych, a potem współrzędne wyznaczyć na podstawie równania\(\displaystyle{ \vec{v}=a\vec{e_{1}}+b\vec{e_{2}}+c\vec{e_{3}}}\)

gdzie wektory e1 itd są bazą tej przestrzeni.
W rozwiązaniach nie jest wymagane sprawdzenie czy wektor leży w danej przestrzeni liniowej.
ODPOWIEDZ