Co możesz powiedzieć o macierzy ?

[pacia1620]

Mam problem z tym oto zadanie :
Co możesz powiedzieć o tej macierzy (osobliwość, wartości własne, wyznacznik rząd itp)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 7&-2&1&-2&1\\3&8&-1&2&-1\\-1&-2&6&0&2\\2&-1&3&-9&2\\0&-1&-1&3&7\end{bmatrix}}\)

Czy wie ktoś może jak to zrobić? oczywiście wiem jak policzyć wartości własne itp. ale tutaj jest to prawie nie wykonalne. Wykładowca powiedział, że to wszytko można odczytać z macierzy.

Z góry dziękuje za pomoc

[M Maciejewski]

Stosunkowo prosto obliczyć wyznacznik, korzystając z faktu, że wyznacznik jest funkcjonałem \(\displaystyle{ n}\)-liniowym.
Wychodzi \(\displaystyle{ \mathrm{det}\,A=-22906=-2\cdot 13\cdot 881}\).
Jest to więc macierz nieosobliwa, o rzędzie \(\displaystyle{ 5}\).
Na wartości własne nie mam sprytnego pomysłu, poza spostrzeżeniem, że \(\displaystyle{ \lambda_1\cdot \lambda_2\cdot \lambda_3\cdot \lambda_4\cdot \lambda_5=-2\cdot 13\cdot 881}\). Można sprawdzić, ile jest \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\) w macierzy Jordana przez sprawdzenie rzędu macierzy \(\displaystyle{ A\mp I}\).

[pacia1620]

hm dziękuje za pomoc jednak ponoć można to "wyczytać" z przekątnej tej macierzy a niestety w wykładzie nie mamy takiego twierdzenia:)

[Medea 2]

Wartości własne to dokładnie zera wielomianu \(\displaystyle{ x^5 - 19x^4 + 47x^3 + 1248 x^2 - 10183x + 22906}\) i nie da się ich "wyczytać" z samej przekątnej.