czy zbiory są podprzestrzeniami odpowiednich przestrzeni w R

[cynizm]

jak w tytule, muszę sprawdzić czy zbiory są podprzestrzeniami odpowiednich\(\displaystyle{ R^{n}.}\)



mam taki przykład:
\(\displaystyle{ B = {(x, y, z) ∈ R^{3}: x + y - z = 0}, R^{3};}\)

więc wiem ze są 3 wektory \(\displaystyle{ W _{1}=(x _{1}, y_{1}, z_{1}), W_{2}=(x_{2}, y_{2}, z_{2}), W_{3}=(x_{3}, y_{3}, z_{3})}\)


z tego licze

\(\displaystyle{ \alpha_{1}*W_{1} + \alpha_{2}*W_{2} +\alpha_{2}*W_{2} = ( \alpha_{1} x_{1} + \alpha_{2} x_{2} + \alpha_{3} x_{3}, \alpha_{1} y_{1} + \alpha_{2} y_{2} + \alpha_{3} y_{3}, \alpha_{1} z_{1} + \alpha_{2} z_{2} + \alpha_{3} z_{3})}\)


i w tym momencie nie bardzo wiem co dalej, próbowałem z warunku x+y-z=0 przekształcić żeby podstawić za z=x+y, ale to również powoduje i nie wiem co dalej mam z tym zrobic.

Czy mój tok myślenia jest dobry, czy zabieram sie za to zupełnie ze złej strony? co dalej?

[M Maciejewski]

\(\displaystyle{ u=(0,0,1),\ v=(0,1,0)\in B}\), ale \(\displaystyle{ u+v=(0,1,1)\notin B}\) Zatem \(\displaystyle{ B}\) nie jest podprzestrzenią.

[cynizm]

czy mógłyś to jasno rozpisać? nie rozumiem specjanie skąd sa wartości \(\displaystyle{ u, v}\)

ponadto, zauwazyłem błąd w warunku w przepisanym przykładzie, juz poprawione

[Premislav]

Kiedy masz sprawdzić, czy coś jest podprzestrzenią liniową, to:
- możesz zacząć próbę udowodnienia, że jest to podprzestrzeń poprzez wykazanie, że zachodzą odpowiednie warunki z definicji (w przypadku wystąpienia problemu z jakimś dowodem, że któryś warunek jest spełniony, zastanów się, czy to w ogóle jest prawda i czy fiasko przy próbie udowodnienia nie wskazuje Ci na jakiś możliwy kontrprzykład);
-możesz sobie wyobrazić, jak wygląda dany zbiór i być może z tego wyobrażenia wyniknie, że od razu będziesz w stanie podać kontrprzykład; jednak samo to, że np. widzisz, że to jest/nie jest podprzestrzeń linowa, to jeszcze oczywiście nie dowód.
\(\displaystyle{ \left\{ (x,y,z) \in \RR^{3}: x+y-z=0\right\}}\) to dopełnienie ortogonalne wektora \(\displaystyle{ (1,1,-1)}\) w \(\displaystyle{ \RR^{3}}\), więc jest to podprzestrzeń liniowa (jest to zbiór takich wektorów v z RR^{3}, że ich iloczyn skalarny z wektorem \(\displaystyle{ (1,1,-1)}\) ma wartość zero, bezpośrednio z dwuliniowości iloczynu skalarnego nad \(\displaystyle{ \RR}\) dostajemy więc, że jest to podprzestrzeń liniowa \(\displaystyle{ \RR^3}\)). Można też, tak jak zacząłeś, bezpośrednio wykazać, że spełnione są warunki z definicji podprzestrzeni liniowej.