wartości singularne macierzy komutujących

[Yelon]

Niech \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B\in M_{n}}\) będą macierzami komutującymi, których wartości własne są uporządkowane następująco \(\displaystyle{ |\lambda_{1}(A)|\ge \ldots \ge |\lambda_{n}(A)|}\). Wtedy \(\displaystyle{ |\lambda_{k}(AB)|\le |\lambda_{k-j+1}(A)| |\lambda_{j}(B)|, \hspace{0.25 cm} j=1,\ldots,k, k=1,\ldots,n.}\)

Czy można połączyć wartości singularne z jej wartościami własnymi tak aby móc skorzystać z nierówności \(\displaystyle{ \sigma_{i+j-1}(AB)\le\sigma_{i}(A)\sigma_{j}(B)}\) (wartości singularne uporządkowane są malejąco)? Gdyby macierze \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) oraz \(\displaystyle{ AB}\) były macierzami hermitowskimi to rozkład wartości osobliwych macierzy symetrycznej pokrywałby się z rozkładem diagonalnym.
Jednak nie mamy założenia o hermitowskości macierzy.

[Kartezjusz]

Z jakiego twierdzenia to masz?

[Yelon]

zadanie 30 (strona 192) "topics in matrix analysis" roger horn.

[Kartezjusz]

Każdą macierz da się przedstawić jako sumę macierzy symetrycznej i antysymetrycznej. Da to coś. Użyj tej komutacji.