Prawdziwość implikacji w przestrzeni euklidesowej

[Aegon]

Witam Was drodzy pasjonaci matematyki!

Jestem świeżo po egzaminie z algebry liniowej 3 i jedno zadanie nie daje mi spokoju, a ze znajomymi podejrzewamy, że prowadzący zwyczajnie się pomylił i w treści zadania jest błąd.

Oto ono:

Pokazać, że w każdej przestrzeni euklidesowej prawdziwa jest implikacja:

\(\displaystyle{ \left| \left| x-y\right| \right| = 2\left| \left| x\right| \right| =2\left| \left| y\right| \right| \Rightarrow x=y}\)

O ile dla wersji powyższego zadania z normą sumy wektorów (a nie ich różnicy) wszystko wychodzi pięknie, to w tym wypadku zwyczajnie utknąłem.

Rozwiązanie dla sumy:

\(\displaystyle{ \left| \left| x+y\right| \right| = 2\left| \left| x\right| \right| =2\left| \left| y\right| \right| \Rightarrow x=y}\)

Więc przyjmujemy, że \(\displaystyle{ (x,x) = (y,y)}\) (tak oznaczamy iloczyny skalarne), a podnosząc jedną część równania do kwadratu otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 4(x,x) = (x,x) + 2(x,y) + (x,y)}\)

Biorąc wcześnieje założenie widać, że:

\(\displaystyle{ 2(x,x) = 2(x,y)}\)

\(\displaystyle{ (x,x) = (x,y)}\)

I myślę, że to już wystarczający dowód na tę implikację? Natomiast w przypadku minusa i oryginalnej, egzaminowej treści zadania nie jestem sobie w stanie z nim poradzić.

Z góry dziękuję za pomoc. (:

Pozdrawiam.

[Premislav]

Ale \(\displaystyle{ (x,x) = (x,y)}\) wcale nie implikuje \(\displaystyle{ x=y}\), więc niestety to jeszcze nie jest dowód.-- 17 cze 2016, o 16:35 --Ja bym zaczął od tego, że w każdej przestrzeni euklidesowej zachodzi tożsamość równoległoboku.