Witam Was drodzy pasjonaci matematyki!
Jestem świeżo po egzaminie z algebry liniowej 3 i jedno zadanie nie daje mi spokoju, a ze znajomymi podejrzewamy, że prowadzący zwyczajnie się pomylił i w treści zadania jest błąd.
Oto ono:
Pokazać, że w każdej przestrzeni euklidesowej prawdziwa jest implikacja:
\(\displaystyle{ \left| \left| x-y\right| \right| = 2\left| \left| x\right| \right| =2\left| \left| y\right| \right| \Rightarrow x=y}\)
O ile dla wersji powyższego zadania z normą sumy wektorów (a nie ich różnicy) wszystko wychodzi pięknie, to w tym wypadku zwyczajnie utknąłem.
Rozwiązanie dla sumy:
\(\displaystyle{ \left| \left| x+y\right| \right| = 2\left| \left| x\right| \right| =2\left| \left| y\right| \right| \Rightarrow x=y}\)
Więc przyjmujemy, że \(\displaystyle{ (x,x) = (y,y)}\) (tak oznaczamy iloczyny skalarne), a podnosząc jedną część równania do kwadratu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 4(x,x) = (x,x) + 2(x,y) + (x,y)}\)
Biorąc wcześnieje założenie widać, że:
\(\displaystyle{ 2(x,x) = 2(x,y)}\)
\(\displaystyle{ (x,x) = (x,y)}\)
I myślę, że to już wystarczający dowód na tę implikację? Natomiast w przypadku minusa i oryginalnej, egzaminowej treści zadania nie jestem sobie w stanie z nim poradzić.
Z góry dziękuję za pomoc. (:
Pozdrawiam.
Prawdziwość implikacji w przestrzeni euklidesowej
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Prawdziwość implikacji w przestrzeni euklidesowej
Ale \(\displaystyle{ (x,x) = (x,y)}\) wcale nie implikuje \(\displaystyle{ x=y}\), więc niestety to jeszcze nie jest dowód.-- 17 cze 2016, o 16:35 --Ja bym zaczął od tego, że w każdej przestrzeni euklidesowej zachodzi tożsamość równoległoboku.