Odwzorowanie,macierz przejścia, złożenie, jądro i wymiar

[blade]

\(\displaystyle{ f:V\rightarrow V}\) endomorfizm.
\(\displaystyle{ B=(e_1,e_2,e_3), B'=(e_1',e_2',e_3')}\) - bazy przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ V}\) nad ciałem \(\displaystyle{ K}\).

\(\displaystyle{ f(e_1)=e_1-e_2+e_3\\ f(e_2)=2e_1-e_3 \\ f(e_3)=-e_1+e_2}\)
oraz :
\(\displaystyle{ e_1=e_1'+e_3' \ e_2=e_1'-e_2'-e_3' \ e_3=e_1'-e_3'}\)

PODPUNKT PIERWSZY:    

Wyznacz macierz \(\displaystyle{ A=M_f(B)}\)

\(\displaystyle{ A=\bmatrix1&2&-1\\-1&0&1\\1&-1&0\endmatrix\right]}\)

PODPUNKT DRUGI:    

Wykorzystując odpowiednie macierze przejści wyznacz \(\displaystyle{ A'=M_f(B')}\)
\(\displaystyle{ P_{B\rightarrow B'}=\bmatrix0&1&1\\0&-1&0\\1&-1&-1\endmatrix\right] \\
P_{B'\rightarrow B} = P_{B\rightarrow B'}^{-1} \\
\bmatrix0&1&1\\0&-1&0\\1&-1&-1\endmatrix\right] \cdot \bmatrix x_1\\x_2\\x_3\endmatrix\right] = \bmatrix y_1\\y_2\\y_3\endmatrix\right]\\
\begin{cases} x_2+x_3 = y_1 \\ x_2=-y_2 \\ x_1 +y_2 -x_3 =y_3 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x_3 = y_1+y_2 \\ x_2 =-y_2 \\ x_1 = y_1+y_3 \end{cases}\\
P_{B'\rightarrow B} = \bmatrix 1&0&1\\0&-1&0\\1&1&0\endmatrix \right]\\
A'=\bmatrix0&1&1\\0&-1&0\\1&-1&-1\endmatrix\right] \cdot \bmatrix1&2&-1\\-1&0&1\\1&-1&0\endmatrix\right] \cdot \bmatrix 1&0&1\\0&-1&0\\1&1&0\endmatrix \right]=\bmatrix1&2&0\\0&-1&1\\-1&-5&1\endmatrix\right]}\)

PODPUNKT TRZECI:    

Wyznacz macierz \(\displaystyle{ C=M_{f^2}(B') = A' \cdot A' = \bmatrix1&0&2\\-1&-4&0\\-2&-2&-4\endmatrix\right]}\)
wykorzystując \(\displaystyle{ C}\) oblicz \(\displaystyle{ f(f(v))}\), gdzie \(\displaystyle{ v=(e_1,e_2,e_3)}\):
\(\displaystyle{ \bmatrix e_1&e_2&e_3\endmatrix\right] \cdot \bmatrix1&0&2\\-1&-4&0\\-2&-2&-4\endmatrix\right] =}\)
Chyba trzeba jeszcze z prawej przez coś przemnożyć ?

PODPUNKT CZWARTY:    

Znajdź obraz i jądro odwzorowania \(\displaystyle{ f}\), wymiary i bazy.
\(\displaystyle{ f(e_1,e_2,e_3) = f(e_1)+f(e_2)+f(e_3) = e_1-e_2+e_3 + 2e_1-e_3 -e_1+e_2=2e_1}\)
To mi sie nie podoba, bo powinno być \(\displaystyle{ (0,2e_1,0)}\), gdyż jest to w bazie \(\displaystyle{ V}\), ale bardzo mylące są podane w treści zadania (wydaje mi się, że błędnie) : \(\displaystyle{ f(e_1),f(e_2),f(e_3)}\). No ale zostawy tak jak jest...
\(\displaystyle{ ker f= \{(e_1,0,e_3): e_1,e_3 \in K\} = lin \{(1,0,0),(0,0,1)\}}\)
\(\displaystyle{ B_{ker f} = ((1,0,0),(0,0,1)), \dim ker f=2}\)
\(\displaystyle{ im f= \{(0,2e_1,0}:e_1 \in K\} = lin\{(0,2,0)\} \\ B_{im f} = ((0,2,0)), \dim im f = 1}\)
Czy \(\displaystyle{ f}\) - mono lub epimorfizm ? (uzasadnij).
Nie jest to ani monomorfizm (\(\displaystyle{ ker f \neq \{\vec{0}\}}\))
Ani epimorfizm (\(\displaystyle{ 1=\dim im f \neq \dim V= 3}\))

Bardzo proszę o sprawdzenie.

[Benny01]

Źle podpunkt pierwszy. W definicji odwzorowania:
\(\displaystyle{ B_1=(e_1, ..., e_n)}\), \(\displaystyle{ B_2=(e_1', ..., e_n')}\)
\(\displaystyle{ f(e_1)=a_{11}e_1'+...+a_{1n}e_n'}\)
Musisz zatem zapisać to odwzorowanie w zależności od drugiej bazy.

[blade]

Rzeczywiście, dzięki, robię więc od nowa :
\(\displaystyle{ e_1=e_1'+e_3' \ ; \ e_2=e_1'-e_2'-e_3' \ ;\ e_3=e_1'-e_3'}\)
\(\displaystyle{ f(e_1)=e_1-e_2+e_3=e_1'+e_3'-e_1'+e_2'+e_3'+e_1'-e_3' = {\red e_1' + e_2' +e_3' }
\\
f(e_2)=2e_1-e_3=2e_1'+2e_3'-e_1'+e_3' =
{\red e_1'+3e_3'}
\\
f(e_3)=-e_1+e_2=-e_1'-e_3'+e_1'-e_2'-e_3'={\red -e_2'-2e_3'}}\)

PIERWSZE:    

\(\displaystyle{ M_f(B) = \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&0&-1\\1&3&-2\end{array}\right]}\)

DRUGIE:    

Wykorzystując odpowiednie macierze przejści wyznacz \(\displaystyle{ A'=M_f(B')}\)
\(\displaystyle{ P_{B\rightarrow B'}=\bmatrix0&1&1\\0&-1&0\\1&-1&-1\endmatrix\right] \\
P_{B'\rightarrow B} = P_{B\rightarrow B'}^{-1} \\
\bmatrix0&1&1\\0&-1&0\\1&-1&-1\endmatrix\right] \cdot \bmatrix x_1\\x_2\\x_3\endmatrix\right] = \bmatrix y_1\\y_2\\y_3\endmatrix\right]\\
\begin{cases} x_2+x_3 = y_1 \\ x_2=-y_2 \\ x_1 +y_2 -x_3 =y_3 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x_3 = y_1+y_2 \\ x_2 =-y_2 \\ x_1 = y_1+y_3 \end{cases}\\
P_{B'\rightarrow B} = \bmatrix 1&0&1\\0&-1&0\\1&1&0\endmatrix \right]\\
A'=\bmatrix0&1&1\\0&-1&0\\1&-1&-1\endmatrix\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&0&-1\\1&3&-2\end{array}\right] \cdot \bmatrix 1&0&1\\0&-1&0\\1&1&0\endmatrix \right]=...}\)

Tutaj mam pytanie odnośnie macierzy przejścia, bardziej o oznaczenia, nie mogę tego spamiętać..
Czy \(\displaystyle{ P_{B\rightarrow B'}}\) jest macierzą wektorów z \(\displaystyle{ B'}\) w bazie \(\displaystyle{ B}\), czyli tą łatwą, którą tylko przepisujemy czy może jednak macierz którą mam na myśli oznaczamy przez \(\displaystyle{ P_{B'\rightarrow B}}\)?

Trzecie i Czwarte, tak samo jak w poprzednim poście, jedyne co się zmienia to macierz \(\displaystyle{ A'}\) będzie miała inne elementy, no i zmieni się jądro i obraz, ale metoda taka sama.

Teraz jest dobrze?

[Konradek]

Oczywiście, że pierwsze zostało dobrze wyznaczone.
\(\displaystyle{ M_f(B)}\) to skrócony zapis \(\displaystyle{ M_f(B, B)}\), co oznacza, że musisz znaleźć współrzędne wektorów z drugiej bazy (ale przy takim oznaczeniu to jest \(\displaystyle{ B}\), a nie \(\displaystyle{ B'}\)) względem pierwszej bazy (\(\displaystyle{ B}\)).
W drugim wzór wygląda tak:
\(\displaystyle{ M_f(B', B')=P_{B'\to B}\cdot M_f(B, B)\cdot P_{B\to B'}}\)
W trzecim powołam się na całe twierdzenie:

Niech odwzorowanie \(\displaystyle{ f\colon V(\mathbb{K})\to W(\mathbb{K})}\) będzie liniowe, \(\displaystyle{ B_V=(e_1, \ldots, e_n}\)) - baza w \(\displaystyle{ V}\) oraz \(\displaystyle{ B_W=(l_1, \ldots, l_m)}\) - baza w \(\displaystyle{ W}\). Ponadto, niech \(\displaystyle{ v\in V}\), czyli \(\displaystyle{ \exists_{x_1, \ldots, x_n}\ v=e_1x_1+\ldots+e_nx_n=[x_1, \ldots, x_n]_{B_V}}\) oraz \(\displaystyle{ w\in W}\), czyli \(\displaystyle{ \exists_{y_1, \ldots, y_m}\ w=l_1y_1+\ldots+l_my_m=[y_1, \ldots, y_m]_{B_W}}\). Wtedy istnieje dokładnie jedna macierz \(\displaystyle{ A\in M_{m\times n}(\mathbb{K})}\), równa \(\displaystyle{ M_f(B_V, B_W)}\), taka że \(\displaystyle{ f(v)=w\Leftrightarrow A\cdot \begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}y_1\\\vdots\\y_m\end{bmatrix}}\).

Czyli pomnożyłeś ze złej strony.
Czwarte wydaje się dobrze.

[blade]

Wydaje mi się, że jednak Benny01 ma rację co do pierwszego.

[Konradek]

W takim razie jaka jest różnica pomiędzy \(\displaystyle{ M_f(B, B)}\), a \(\displaystyle{ M_f(B', B)}\)?
Edit:
Oczywiście chodziło mi o:

W takim razie jaka jest różnica pomiędzy \(\displaystyle{ M_f(B, B)}\), a \(\displaystyle{ M_f(B, B')}\)?

Edit2:
No i tak wyżej też się pomyliłem: kolejne kolumny macierzy odwzorowania \(\displaystyle{ f}\) stanowią współrzędne wartości dla wektorów z pierwszej bazy względem drugiej.

[blade]

Ok. Doczytałem, \(\displaystyle{ M_f(B):= M_f(B,B)}\), czyli macierz endomorfizmu, zatem w pierwszym poście prawie wszystko zrobiłem poprawnie, zastanawia mnie tylko dlaczego dostałem za takie rozwiązanie zaledwie 20% punktów.

[Konradek]

To pytanie nie do nas, a do prowadzącego.