Układ równań w zależności od parametru i lin
-
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 14 lis 2015, o 00:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 1 raz
Układ równań w zależności od parametru i lin
Rozwiąż układ równań w zależności od parametru \(\displaystyle{ p\in \mathbb{R}}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} (2+p)x+2py+z=2p\\ (3+p)x+p^{2}y+z=-p \\ x+py+(1-p)z=p \\ (1-p)x-p^{2}y-z=p \end{cases}}\)
Uzasadnij dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ p}\)
\(\displaystyle{ (2p,-p,p,p)\in lin{(2+p,3+p,1,1-p),(2p,p^{2},p,-p^{2}),(1,1,1-p,-1)}}\)
Czy jest jakaś inna metoda rozwiązania tego układu bez liczenia wyznacznika? Ponieważ przy stosowaniu rozwinięcia Laplace'a dostaje okropne równanie.
Do drugiej części zadania nie mam pojęcia jak się zabrać.
\(\displaystyle{ \begin{cases} (2+p)x+2py+z=2p\\ (3+p)x+p^{2}y+z=-p \\ x+py+(1-p)z=p \\ (1-p)x-p^{2}y-z=p \end{cases}}\)
Uzasadnij dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ p}\)
\(\displaystyle{ (2p,-p,p,p)\in lin{(2+p,3+p,1,1-p),(2p,p^{2},p,-p^{2}),(1,1,1-p,-1)}}\)
Czy jest jakaś inna metoda rozwiązania tego układu bez liczenia wyznacznika? Ponieważ przy stosowaniu rozwinięcia Laplace'a dostaje okropne równanie.
Do drugiej części zadania nie mam pojęcia jak się zabrać.
-
- Użytkownik
- Posty: 22227
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3757 razy
Układ równań w zależności od parametru i lin
A jak chcesz liczyc wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ 4\times 3}\) ?
\(\displaystyle{ v\in \mathrm{lin}(a,b,c) \Leftrightarrow \exists \alpha,\beta,\gamma: v=\alpha a+\beta b+\gamma c}\)
Przyjrzyj się temu układowi równań
\(\displaystyle{ v\in \mathrm{lin}(a,b,c) \Leftrightarrow \exists \alpha,\beta,\gamma: v=\alpha a+\beta b+\gamma c}\)
Przyjrzyj się temu układowi równań
-
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 14 lis 2015, o 00:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 1 raz
Układ równań w zależności od parametru i lin
Że jak wyznacznik jest równy \(\displaystyle{ 0}\) to MOŻE istnieć rozwiązanie co trzeba sprawdzić podstawiając, a gdy jest różny to układ jest sprzeczny.
Układ równań w zależności od parametru i lin
Układ równań można zapisać w postaci macierzy i skorzystać z metody eliminacji Gaussa
-
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 14 lis 2015, o 00:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 1 raz
Układ równań w zależności od parametru i lin
Wyliczyłem sobie że dla \(\displaystyle{ p \neq 0,-1,\frac{1}{2}}\) układ nie ma rozwiązania, dla \(\displaystyle{ p=0}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań, a dla \(\displaystyle{ p=-1 p=\frac{1}{2}}\) ma jedno rozwiązanie.
I teraz przechodzę do drugiej części:
\(\displaystyle{ (2p,-p,p,p)\in lin\{(2+p,3+p,1,1-p),(2p,p^{2},p,-p^{2}),(1,1,1-p,-1)\}}\)
\(\displaystyle{ (2p,-p,p,p)= \alpha (2+p,3+p,1,1-p)+\beta(2p,p^{2},p,-p^{2})+\gamma(1,1,1-p,-1)}\)
Teraz zapisuje to macierzowo i widzę, że to ten sam układ. Więc czy dobrze rozumiem, że będzie to kombinacja liniowa dla \(\displaystyle{ p=-1, p=\frac{1}{2}}\), ponieważ wtedy ten układ posiada rozwiązanie?
I teraz przechodzę do drugiej części:
\(\displaystyle{ (2p,-p,p,p)\in lin\{(2+p,3+p,1,1-p),(2p,p^{2},p,-p^{2}),(1,1,1-p,-1)\}}\)
\(\displaystyle{ (2p,-p,p,p)= \alpha (2+p,3+p,1,1-p)+\beta(2p,p^{2},p,-p^{2})+\gamma(1,1,1-p,-1)}\)
Teraz zapisuje to macierzowo i widzę, że to ten sam układ. Więc czy dobrze rozumiem, że będzie to kombinacja liniowa dla \(\displaystyle{ p=-1, p=\frac{1}{2}}\), ponieważ wtedy ten układ posiada rozwiązanie?
-
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 14 lis 2015, o 00:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 1 raz
Układ równań w zależności od parametru i lin
Nie rozumiem tej jedyności. Mógłbym prosić o wskazówkę?a4karo pisze:Nie sprawdzałem poprawności pierwszej części. Drugie prawie ok (rozwiązanie nie musi byc jedyne)
-
- Użytkownik
- Posty: 22227
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3757 razy
Układ równań w zależności od parametru i lin
Jak ukłąd ma nieskonczenie wiele rozwiązan, to w szczególności ma jedno, więc kolumna po prawej będzie należała należał do przestrzeni rozpietej na kolumnach po lewej
-
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 14 lis 2015, o 00:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 1 raz
Układ równań w zależności od parametru i lin
Więc podsumowując w drugiej części odrzucam jedynie te p, dla których układ nie ma rozwiązania?a4karo pisze:Jak ukłąd ma nieskonczenie wiele rozwiązan, to w szczególności ma jedno, więc kolumna po prawej będzie należała należał do przestrzeni rozpietej na kolumnach po lewej