Czy podane zbiory tworzą podprzestrzeń liniową?

[TheBigvi]

Cześć,

Mam problem z paroma przykładami z zadania "Czy podane zbiory tworzą podprzestrzeń liniową w podanych przestrzeniach V."

a) \(\displaystyle{ W =[(2x-y, y+z) : x,y,z \in R ], V = R^{2}}\)
b) \(\displaystyle{ W =[(x,y,z,t) \in R^{4} : x-y=z+t ], V = R^{4}}\)
c) \(\displaystyle{ W =[(x,y,z,t) \in R^{4} : |x| = |y| ], V = R^{4}}\)
d) \(\displaystyle{ W =[(x,y,z,t) \in R^{4} : x^{2} + z^{2} = 0 ], V = R^{4}}\)
e) \(\displaystyle{ W =[(x,y+1,-x,-y) : x,y \in R ], V = R^{4}}\)

Udało mi się rozwiązać przykłady b,c,d.
b) \(\displaystyle{ x-y=z+t \Rightarrow x=y+z+t}\) korzystałem z \(\displaystyle{ a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2}}\)
c) szybki kontr przykład \(\displaystyle{ v_{1} [1,1,0,0] \in W, v_{2} [1,-1,0,0] \in W, v_{1} + v_{2} = [2,0,0,0]}\) już się nie zawiera w W.
d) \(\displaystyle{ x^{2} + z^{2} = 0 \Rightarrow x=z=0}\) czyli\(\displaystyle{ [0,y,0,t]}\) suma dwóch dowolnych wektorów spełni warunek, również przemnożenie dowolnego wektora przez skalar (przez dowolny mam na myśli oczywiście dowolne y i t)

Jednak nie wiem jak ugryźć przykłady a i e. Proszę o jakąś wskazówkę.

[mostostalek]

e) \(\displaystyle{ v=(0,1,0,0)\in W}\)

\(\displaystyle{ av \not\in W}\)

popraw zapis podpunktu a bo raczej nie o to tam chodzi :p

[Kartezjusz]

a) \(\displaystyle{ y+y}\)było w planie? \(\displaystyle{ z}\) w planie
b) Nie wiem co miałeś na myśli . Rozpisz to.
c) dokładnie
d) W przykładzie jest \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}}\), a w rozwiązaniu \(\displaystyle{ x^{2}+z^{z}}\)
e) Ta jedyneczka miesza.

[TheBigvi]

Poprawiłem podpunkty a i d.

e) Faktycznie jeśli pod x,y podstawie 0 to otrzymam \(\displaystyle{ v_{1} = [0,1,0,0] \in W}\) ale
\(\displaystyle{ a v_{1} \not \in W}\) tak sie zastanawiałem jak to zrobić na przykładzie ogólnym, że nawet się nie zastanowiłem nad kontrprzykładem.

b) Hmm w sumie im więcej na to patrze tym bardziej mi się wydaje, że tylko rozpisałem dwa wektory a wynik sobie zasugerowałem bo miałem odpowiedź do tego podpunktu. Robiłem to tak:
\(\displaystyle{ v_{1} = ( x_{1}, y_{1}, z_{1}, t_{1}), v_{2} = ( x_{2}, y_{2}, z_{2}, t_{2}) \in W}\)
rozpisałem do postaci: \(\displaystyle{ ( a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2},a_{1} y_{1} + a_{2} y_{2},a_{1} z_{1} + a_{2} z_{2},a_{1} t_{1} + a_{2} t_{2})}\) potem zgodnie z \(\displaystyle{ x=y+z+t}\) zamieniłem \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\) na \(\displaystyle{ y_{1} + z_{1} + t_{1}}\) i \(\displaystyle{ y_{2} + z_{2} + t_{2})}\) po czym wyszło... kurcze faktycznie chyba to nie tak...

[Kartezjusz]

Pokaż rozwiązanie.

[mostostalek]

a)
Oczywiście \(\displaystyle{ (2\cdot0-0,0+0)=(0,0) \in W}\)

Weźmy dwa dowolne wektory \(\displaystyle{ (2x_1+y_1,y_1+z_1) \ \hbox{oraz }(2x_2+y_2,y_2+z_2):x_1, y_1, z_1, x_2, y_2, z_2 \in \mathbb{R}}\). Oczywiście oba należą do \(\displaystyle{ W}\)
Mamy: \(\displaystyle{ (2x_1-y_1, y_1+z_1)+(2x_2-y_2, y_2+z_2)=(2x_1-y_1+2x_2-y_2,y_1+z_1+y_2+z_2)=(2(x_1+x_2)-(y_1+y_2),(y_1+y_2)+(z_1+z_2))\in W}\)

Dodatkowo weźmy dowolny wektor \(\displaystyle{ W \ni (2x+y,y+z): x,y,z \in \mathbb{R} \ \hbox{oraz dowolne }a\in \mathbb{R}}\)
Mamy:\(\displaystyle{ a(2x-y,y+z)=(a(2x-y),a(y+z))=(2ax-ay,ay+az)\in W}\)
to styka..

Tak jeszcze na jedno wpadłem.. co do e)
Oczywiście \(\displaystyle{ 0=(0,0,0,0) \not\in W}\) zatem \(\displaystyle{ W}\) nie może być podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{4}}\)