Układ równań z parametrami.

[blade]

Mam pytanie co do dwóch typów zadań :

1.W zależności od parametrów \(\displaystyle{ k, m}\) rozwiąż układ równań :

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x+y+z=1\\x+ky+z=k\\x+y+kz=m \end{cases}}\)

Przechodzę na macierz :

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&1&1\\1&k&1\\1&1&k\end{array}\right.\left|\begin{array}{c}1\\k\\m\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}1&1&k\\1&k&1\\3&1&1\end{array}\right.\left|\begin{array}{c}m\\k\\1\end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{ccc}1&1&k\\0&k-1&1-k\\0&-2&1-3k\end{array}\right.\left|\begin{array}{c}m\\k-m\\1-3m\end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{ccc}1&1&k\\0&-2&1-3k\\0&k-1&1-k\end{array}\right.\left|\begin{array}{c}m\\1-3m\\k-m\end{array}\right]\sim \\ \sim\left[\begin{array}{ccc}1&1+k&k\\0&-1-3k&1-3k\\0&0&1-k\end{array}\right.\left|\begin{array}{c}m\\1-3m\\k-m\end{array}\right] }\)

\(\displaystyle{ 1^{\circ} k=1, m\neq 1}\) sprzeczny = 0 rozwiązań
\(\displaystyle{ 2^{\circ}k\neq 1 : \\
(1-k)z=k-m \Rightarrow z=\frac{k-m}{1-k}\\
(-1-3k)y +(1-3k)\frac{k-m}{1-k} = 1-3m}\)

W dobrym kierunku idę, czy nie do końca?


2.Rozważmy jeszcze inną treść zadania :
w zależności od parametru \(\displaystyle{ k,m}\) wyznacz ilość rozwiązań.
Czy takie zadanie w ogóle jest możliwe? Może łatwiej będzie przyjąć m=0.
macierz Uzupełniona :
\(\displaystyle{ U=\begin{bmatrix}1&1+k&k&0\\0&-1-3k&1-3k&1\\0&0&1-k&k\end{bmatrix}}\)

To zadanie nie jest stworzone chyba do tego typu, bo brzydkie liczby wychodzą, no ale czysto teoretycznie :
Sprowadzam \(\displaystyle{ U}\) do postaci schodkowej, później \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}3&1&1\\1&k&1\\1&1&k\end{bmatrix}}\)
też sprowadzam do postaci schodkowej.
Korzystam z Tw. Kroneckera-Capellego : (\(\displaystyle{ n}\) - liczba niewiadomych)
\(\displaystyle{ rz(U)=rz(A)=n \rightarrow}\) 1 rozwiązanie
\(\displaystyle{ rz(U)=rz(A)<n \rightarrow}\) nieskończenie wiele rozwiązań
\(\displaystyle{ rz(A)\neq rz(U) \rightarrow}\) sprzeczne

I koniec zadania, tak?

[kerajs]

Ad 2) Inne podejście:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}3&1&1\\1&k&1\\1&1&k\end{array}\right|=3k^2-2k-1=3(k-1)(k+ \frac{1}{3} )}\)
Układ ma jedno rozwiązanie dla \(\displaystyle{ k \in \RR \setminus \left\{ \frac{-1}{3},1\right\} \wedge m \in \RR \setminus}\)

1)Sprawdzam \(\displaystyle{ k=1}\) dostając układ:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right.\left|\begin{array}{c}1\\1\\m\end{array}\right]}\)
skreślając jedną z powtarzających się kolumn liczę wyznacznik z macierzy rozszerzonej.
\(\displaystyle{ det(U)=2m-2}\)
dla \(\displaystyle{ k=1 \wedge m \neq 1}\) układ jest sprzeczny,
a dla \(\displaystyle{ k=1 \wedge m=1}\) sprawdzam układ:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right.\left|\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]}\)
który okazuje się być nieoznaczony.

2)Sprawdzam \(\displaystyle{ k= \frac{-1}{3}}\) dostając układ:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&1&1\\1&\frac{-1}{3} &1\\1&1&\frac{-1}{3} \end{array}\right.\left|\begin{array}{c}1\\ \frac{-1}{3} \\m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}3&1&1\\0&-2 &2\\0&0&0 \end{array}\right.\left|\begin{array}{c}1\\-2 \\3m-3\end{array}\right]}\)
dla \(\displaystyle{ k=\frac{-1}{3} \wedge m \neq 1}\) układ jest sprzeczny,
a dla \(\displaystyle{ k=\frac{-1}{3} \wedge m=1}\) sprawdzam układ:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&1&1\\0&-2 &2\\0&0&0 \end{array}\right.\left|\begin{array}{c}1\\-2 \\0\end{array}\right]}\)
który okazuje się być nieoznaczony.

I teraz można zacząć rozwiązywanie podpunktu 1)
Dla układu oznaczonego wzory Cramera, dla układu nieoznaczonego niewiadome które nie brały udziału w liczeniu rzędu traktujesz jak parametr i znów stosujesz wzory Cramera. Pokazać?


Wskazówka ogólna do 2)
1) Gdy ilość równań jest większa od ilości niewiadomych zaczynam od wyzerowania wyznacznika macierzy uzupełnionej
2) Gdy ilość równań jest mniejsza lub równa od ilości niewiadomych zaczynam od wyzerowania wyznacznika macierzy głównej
Podobne zadanie: viewtopic.php?t=408466

[blade]

Dzięki za odpowiedź.

Ad. 1 )

Dla Ukladu oznaczonego:    

\(\displaystyle{ k \in \RR \setminus \left\{ \frac{-1}{3},1\right\} \wedge m \in \RR \setminus}\)

\(\displaystyle{ W=\left|\begin{array}{ccc}3&1&1\\1&k&1\\1&1&k\end{array}\right|=3k^2-2k-1=3(k-1)(k+ \frac{1}{3} )}\)

\(\displaystyle{ W_x=\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&k&1\\m&1&k\end{array}\right|=k^2 +m -mk -k=(k-1)(k-m)}\)

\(\displaystyle{ W_y=\left|\begin{array}{ccc}3&1&1\\1&1&1\\1&m&k\end{array}\right|=2k-2m=2(k-m)}\)

\(\displaystyle{ W_z=\left|\begin{array}{ccc}3&1&1\\1&k&1\\1&1&m\end{array}\right|=3km+2-k-m}\)

\(\displaystyle{ x=\frac{W_x}{W}=\frac{k-m}{3(k+\frac{1}{3})} \\ \\ y=\frac{W_y}{W}=\frac{2(k-m)}{3(k-1)(k+ \frac{1}{3} )} \\\\ z=\frac{W_z}{W}=\frac{3km+2-k-m}{3(k-1)(k+ \frac{1}{3} )}}\)

Co do układów nieoznaczonych trochę nie rozumiem, mógłbyś trochę rozjaśnić ?:)

I tutaj :

skreślając jedną z powtarzających się kolumn liczę wyznacznik z macierzy rozszerzonej.
\(\displaystyle{ det(U)=2m-2}\)
dla \(\displaystyle{ k=1 \wedge m \neq 1}\) układ jest sprzeczny,

Tutaj jest jakieś twierdzenie, które mówi, że jeśli wyznacznik macierzy rozszerzonej jest różny od 0 to układ jest sprzeczny?

[a4karo]

Tutaj jest jakieś twierdzenie, które mówi, że jeśli wyznacznik macierzy rozszerzonej jest różny od 0 to układ jest sprzeczny?

Jeżeli macierz rozszerzona jest \(\displaystyle{ n\times n}\) i jej wyznacznik jest niezerowy, to ukłąd musi być sprzeczny. Pomyśl dlaczego tak jest.

Podkreślam "Jeżeli", bo rozszerzona nie musi byc kwadratowa

[kerajs]

Układ jest oznaczony dla
A)\(\displaystyle{ k=1 \wedge m=1}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right.\left|\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]}\)
Drugie i trzecie równanie są liniowo zależne więc jedno skreślam, wyznacznik z pierwszych dwóch kolumn jest niezerowy więc \(\displaystyle{ rz(A)=rz(U)=2}\). Niewiadoma niebiorącą udziału w liczeniu rzędu traktuję jak parametr
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x+y=1-z \\ x+y=1-z \end{cases}}\)
Teraz wzory Cramera

B) \(\displaystyle{ k=\frac{-1}{3} \wedge m=1}\) mam układ :
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&1&1\\0&-2 &2\\0&0&0\end{array}\right.\left|\begin{array}{c}1\\-2 \\0\end{array}\right]}\)
co daje
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x+y=1-z \\ -2y=1-2z \end{cases}}\)
i teraz zwykle podstawianie lub wzory Cramera.

Tutaj jest jakieś twierdzenie, które mówi, że jeśli wyznacznik macierzy rozszerzonej jest różny od 0 to układ jest sprzeczny?

Opieram się na równości/różności rzędów zgodnie z tw. Kroneckera-Capellego

[blade]

Rozumiem, dzięki!