Mam wyznaczyć bazę w której odwzorowanie \(\displaystyle{ B}\) ma postać Jordana.
\(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix} -1&1&0&-1\\0&-2&0&1\\0&1&-1&-1\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\)
Wielomian charakterystyczny wyszedł mi \(\displaystyle{ w(\lambda)=(\lambda +1)^4}\)
Dla tej lambdy szukam wektorów własnych:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1&0&-1\\0&-1&0&1\\0&1&0&-1\\0&-1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ x_1=s, x_2=x_4=t, x_3=r}\)
\(\displaystyle{ V^{(1)}=\left\{ (1,0,0,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0)\right\}}\)
\(\displaystyle{ dimV=3<4}\) trzeba znaleźć czwarty wektor.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1&0&-1|s\\0&-1&0&1|t\\0&1&0&-1|r\\0&-1&0&1|t\end{bmatrix}}\)
I z tego dostaje, że \(\displaystyle{ r=s}\), \(\displaystyle{ s+t=0}\), \(\displaystyle{ r+t=0}\), żeby układ nie był sprzeczny.
Dalej
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1&0&-1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} s\\0\\0\\0\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ x_2-x_4=s}\), \(\displaystyle{ x_1=p}\), \(\displaystyle{ x_4=m}\), \(\displaystyle{ x_3=q}\)
Dostaje \(\displaystyle{ V^{(2)}=\left\{ (1,0,0,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0)\right\}}\)
Jak znaleźć teraz wektory, które tworzą bazę oraz gdzie mam wpisać jedynki w macierz Jordana?