Baza ortonormalna i zbiór pewnych wektorów

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
Peter Zof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 585
Rejestracja: 30 cze 2012, o 16:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa (MIMUW) / Pułtusk
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 66 razy

Baza ortonormalna i zbiór pewnych wektorów

Post autor: Peter Zof »

Załóżmy, że \(\displaystyle{ e_1,\dots,e_n}\) jest bazą ortonormalną przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) oraz \(\displaystyle{ v_1,\dots,v_n}\) są wektorami w \(\displaystyle{ V}\) takimi, że \(\displaystyle{ \left\Vert e_i-v_i\right\Vert < \frac{1}{\sqrt{n}}}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ v_1,\dots,v_n}\) stanowią bazę \(\displaystyle{ V}\).

Oczywiście wiem, że wystarczy wykazać tylko liniową niezależność tych wektorów. Próbowałem robić nie wprost, jednak bez większego sukcesu, także byłbym wdzięczny za wskazówkę
Awatar użytkownika
Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 778
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 155 razy

Baza ortonormalna i zbiór pewnych wektorów

Post autor: Slup »

Zapiszmy:
\(\displaystyle{ v_i-e_i=\sum_{j=1}^na_{ij}e_j}\)
Wtedy z założenia \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^na^2_{ij}=s_i<\frac{1}{n}}\). Rozpatrzmy teraz macierz:
\(\displaystyle{ A=[a_{ij}]_{1\leq i,j\leq n}}\)
Dla wektora \(\displaystyle{ w=(b_1,...,b_n)\in \mathbb{R}^n}\) mamy:
\(\displaystyle{ ||Aw||=\sqrt{\sum_{i=1}^n(\sum_{j=1}^na_{ij}b_j)^2}}\)
i z nierówności Schwartza:
\(\displaystyle{ \sqrt{\sum_{i=1}^n(\sum_{j=1}^na_{ij}b_j)^2}\leq \sqrt{\sum_{i=1}^n s_i||w||^2}=\sqrt{\sum_{i=1}^n s_i}||w||}\)
Kładąc \(\displaystyle{ s=\sqrt{\sum_{i=1}^n s_i}<1}\)
dostajemy:
\(\displaystyle{ ||Aw||\leq s||w||}\)
Stąd macierz \(\displaystyle{ A}\) ma normę mniejszą od \(\displaystyle{ 1}\). Z tego dostajemy, że macierz:
\(\displaystyle{ A+I_n}\)
jest odwracalna, bo:
\(\displaystyle{ (I_n+A)^{-1}=\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^kA^k}\)
Macierz \(\displaystyle{ I_n+A}\) ma w wierszach wektory \(\displaystyle{ v_1,...v_n}\) zapisane w bazie \(\displaystyle{ e_1,...,e_n}\). Z tego, że jest ona odwracalna wynika, że \(\displaystyle{ v_1,...,v_n}\) są bazą.
ODPOWIEDZ