Macierz Jordana

[blade]

Cześć!
Nie wiem czy potrafię poprawnie (formalnie, aby nie stracić punktów na egzaminie) znaleźć postać Jordana macierzy, dlatego proszę o pomoc.

liczenie wyznacznika:    

\(\displaystyle{ A=\bmatrix{4&1&0&0\\-1&5&1&0\\-1&0&6&0\\-1&-1&1&5}\endmatrix}\right]}\)

\(\displaystyle{ \det \bmatrix{4-\lambda&1&0&0\\-1&5-\lambda&1&0\\-1&0&6-\lambda&0\\-1&-1&1&5-\lambda}\endmatrix}\right] = (5-\lambda)^4}\)

WEKTORY WŁASNE:    

\(\displaystyle{ \lambda = 5, k=4}\)

\(\displaystyle{ \bmatrix{-1&1&0&0\\-1&0&1&0\\-1&0&1&0\\-1&-1&1&0}\endmatrix}\right] \cdot \bmatrix{a\\b\\c\\d}\endmatrix\right] = \overline{0}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -a+b=0\\ -a+c=0 \\ -a-b+c=0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases}a=0\\b=0\\c=0\\d=\alpha\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ V_1 = \left\{v\in \RR^4 : v=\alpha \cdot \bmatrix{0\\0\\0\\1}\endmatrix\right] : \alpha \in \RR\right\}}\)

Zatem będzie tylko jedna klatka Jordana, \(\displaystyle{ dim V_1 = 1 \neq k=4}\)

pierwszy wektor dołączony:    

\(\displaystyle{ \bmatrix{-1&1&0&0\\-1&0&1&0\\-1&0&1&0\\-1&-1&1&0\endmatrix\right] \cdot \bmatrix{a\\b\\c\\d}\endmatrix\right] = \bmatrix{0\\0\\0\\ \alpha}\endmatrix\right]}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}-a+b=0\\-a+c=0\\-a+c=0\\-a-b+c=\alpha\end{cases} \rightarrow \begin{cases}a=\alpha \\ b=\alpha \\ c=\alpha \\ d=\beta\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ U_1^{(1)} = \left\{u\in\RR^4: u= \alpha \cdot \bmatrix{1\\1\\1\\0}\endmatrix\right] + \beta\cdot \bmatrix{0\\0\\0\\1}\endmatrix}\right] : \alpha,\beta \in \RR\right\}}\)

drugi wektor dołączony:    

\(\displaystyle{ \bmatrix{-1&1&0&0\\-1&0&1&0\\-1&0&1&0\\-1&-1&1&0\endmatrix\right] \cdot \bmatrix{a\\b\\c\\d}\endmatrix\right] = \bmatrix{\alpha\\\alpha\\\alpha\\ \beta}\endmatrix\right]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}-a+b=\alpha\\-a+c=\alpha\\-a+c=\alpha\\-a-b+c=\beta\end{cases} \rightarrow \begin{cases}a=-\beta \\ b=\alpha - \beta \\ c=\alpha - \beta \\ d=\delta \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ U_1^{(2)} = \left\{u\in \RR^n : u=\alpha \cdot \bmatrix{0\\1\\1\\0}\endmatrix\right] + \beta\cdot \bmatrix{-1\\-1\\-1\\0}\endmatrix\right] + \delta\cdot \bmatrix{0\\0\\0\\1}\endmatrix\right] : \alpha,\beta,\delta \in \RR\right\}}\)

trzeci wektor dołączony:    

\(\displaystyle{ \bmatrix{-1&1&0&0\\-1&0&1&0\\-1&0&1&0\\-1&-1&1&0\endmatrix\right] \cdot \bmatrix{a\\b\\c\\d}\endmatrix\right] = \bmatrix{-\beta\\\alpha-\beta\\\alpha-\beta\\ \delta}\endmatrix\right]}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}-a+b=-\beta\\-a+c=\alpha-\beta\\-a+c=\alpha-\beta\\-a-b+c=\delta\end{cases} \rightarrow \begin{cases}a=\alpha - \delta\\ b=\alpha - \beta - \delta \\ c=2\alpha - \beta -\delta \\ d=\epsilon \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ U_1^{(3)} = \left\{u\in \RR^n : u=\alpha \cdot \bmatrix{1\\1\\2\\0}\endmatrix\right] + \beta\cdot \bmatrix{0\\-1\\-1\\0}\endmatrix\right] + \delta\cdot \bmatrix{-1\\-1\\-1\\0}\endmatrix\right] + \epsilon \cdot \bmatrix{0\\0\\0\\1}\endmatrix\right] : \alpha,\beta,\delta,\epsilon \in \RR\right\}}\)

Niefortunny przykład, bo mało pouczający ze względu na to, że mamy tylko 1 klatkę w macierzy Jordana.

\(\displaystyle{ J=\bmatrix{5&1&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5}\endmatrix\right] \\
P=\bmatrix{0&-1&0&1\\0&-1&-1&1\\0&-1&-1&2\\1&0&0&0}\endmatrix\right]}\)

Ale na egzaminie nie przejdzie bez ustalania parametrów, wybierania wektorów własnych z przestrzeni i dobierania do niego wektora głównego drugiego rzędu, czego nie rozumiem totalnie, mógłby ktoś rozpisać co się robi z tymi parametrami? Co powinienem (formalnie) dalej zrobić, żeby było dobrze?

Poukrywałem obliczenia, żeby się wygodniej czytało, bez tego jest bardzo nieczytelne.

Z góry dzięki za pomoc.-- 12 cze 2016, o 20:31 --PS: Zrozumiałem już co i jak