Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ R}\) oraz niech \(\displaystyle{ q: V \rightarrow R}\) będzie formą kwadratową. Udowodnij, że podzbiór \(\displaystyle{ L = \left\{ v \in V | q(v) \ge 0 \right\}}\) tworzy podprzestrzeń liniową w \(\displaystyle{ V}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ q}\) jest formą określoną (czyli nie jest formą nieokreśloną).
Spróbować to zrobić przez zaprzeczenie?
zakładamy, że \(\displaystyle{ q}\) jest nieokreślona \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) istnieją wektory \(\displaystyle{ \alpha , \beta \in V}\) takie, że \(\displaystyle{ q( \alpha ) >0}\) i \(\displaystyle{ q( \beta )<0}\)
I jak to mi niby utrudnia, żeby wszystkie te wieksze lub równe\(\displaystyle{ 0}\) były podprzestrzenią jeśli wystąpi mi jakiś wektora, dla którego moja forma kwadratowa będzie mniejsza od \(\displaystyle{ 0}\)?