Macierz Jordana

[Benny01]

Nie mogę znaleźć odpowiedzi na moje pytanie. Kiedy i dlaczego wpisujemy 1 w macierzy Jordana nad diagonalą?

[Peter Zof]

Poczytaj o przestrzeniach pierwiastkowych i uogólnionych wektorach własnych. Po prostu czasem zdarza się tak, że suma wymiarów przestrzeni własnych nie jest równa wymiarowi przestrzeni (zakładam przypadek skończenie wymiarowy) - fakt ten jest równoważny że macierz nie diagonalizuje się. Geometrycznie oznacza to, iż przestrzenie własne są "zbyt małe", aby można było utworzyć bazę złożoną z wektorów własnych. Sytuację te jak się okazuje można poprawić (zakładając że pracujemy nad ciałem algebraicznie domkniętym) do postaci Jordana.

Przestrzeń pierwiastkową odpowiadającą wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\) definiuje się jako zbiór:

\(\displaystyle{ V^{\lambda}:=\left\{ x \in V \colon \left( \exists k \in \mathbb{N} \right) \left( (F-\lambda Id)^k x = \vec{0} \right) \right\}}\),
gdzie \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenią liniową oraz \(\displaystyle{ F}\) jest endomorfizmem określonym na tej przestrzeni.

Jeśli przez \(\displaystyle{ V_\lambda}\) oznaczysz przestrzeń wektorów własnych to oczywiste jest zawieranie \(\displaystyle{ V_\lambda \subseteq V^{\lambda}}\).

Mówiąc dość ogólnikowo jeśli zabraknie nam wektorów własnych to możemy je uzupełniać do bazy (Jordanowskiej) wybierając wektory z przestrzeni tego typu. Jeśli chcesz to mogę polecić Ci na PW jakąś literaturę.

[Benny01]

Chętnie poczytam. To co napisałeś mniej, więcej ogarniam, bo robiłem coś takiego, tworzyłem nową bazę tym sposobem, ale później jest moment, aby zapisać tą macierz Jordana i mam kłopot z tymi jedynkami nad diagonalą, bo nie wiem od czego zależy czy się je wpisuje czy nie.