Baza i wymiar

[Alu]

Witam mam wyznaczyć baze i wymiar z \(\displaystyle{ S= ( a +2b + c, b+c , a+b , b+c ) \in R}\)
a także obliczyć współrzędne \(\displaystyle{ [25,8,17,8]}\)


\(\displaystyle{ \vec{v1} = (1,0,1,0), \vec{v2} = (2,1,1,1), \vec{v3} = (1,1,0,1)}\)

Wyszło mi że rząd tej macierzy \(\displaystyle{ = 2}\)

(Zapisałem wektory kolumnami i 3 i 4 wiersz się wyzerowały )

i nie wiem jak mam dalej postąpić i to rozumować , czy v3 jest liniowo zależny od pozozstałych i wtedy moją bazę tworzą v1 i v2 i dla nich policzyć współrzędne. Mógłby ktoś pomóc, co trzeba zrobić dalej ? Pozdrawiam

[leg14]

czy v3 jest liniowo zależny od pozozstałych i wtedy moją bazę tworzą v1 i v2 i

Dokładnie

[Alu]

Dzięki wielkie , jeszcze mam pytanie dosyć trywialne .. lecz niezbyt rozumiem dlaczego v3 jest zależne w takim zapisie (kolumn ) od v1 i v2, na zajęciach mam zapisane że pani wzięła sobie v1 i v3 a nie v2 do naszej bazy .
Do tego na e-trapezie jest jeszcze ten warunek
Kilka wektorów nazywamy bazą przestrzeni liniowej, kiedy spełnione są dwa warunki:

-Wektory te są liniowo niezależne . Ok to sprawdziłem za pomocą rzędu

- Każdy inny wektor z tej samej przestrzeni można przedstawić jako kombinację liniową tych wektorów, czy tutaj też musze sprawdzić ten warunek istnieje ?

Macierz która mi wyszła (podstawiałem kolumnami )

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right]}\)

I teraz na podstawie tego jak powinienem zapisać moją odpowiedź ?

[leg14]

lecz niezbyt rozumiem dlaczego v3 jest zależne w takim zapisie

\(\displaystyle{ v_3=v_2-v_1}\) dlatego jest zalezny.Nie wiem do konca o co chodzi z ta macierza, skad sie wziela ta, ktora napisales na dole?

Każdy inny wektor z tej samej przestrzeni można przedstawić jako kombinację liniową tych wektorów, czy tutaj też musze sprawdzić ten warunek istnieje ?

Tak

na zajęciach mam zapisane że pani wzięła sobie v1 i v3 a nie v2 do naszej bazy

Baza nie jest wyznaczona jednoznacznie, zauwaz, ze \(\displaystyle{ v_2= v_3 + v_1}\)
czyli \(\displaystyle{ v_2}\) jest zalezy od pozostalych dwoch wektorow
analogicznie mozna wziac \(\displaystyle{ v_2,v_3}\), a wyrzucic \(\displaystyle{ v_1}\)