Własności rzędu macierzy

[filip96]

Witam. Na wykladzie mialem podana jedna z wlasnosci wyznacznika
\(\displaystyle{ \vee _{A,B\in M_{m \times n}(K)} r(A+B) \le r(A)+r(B)}\)
W dowodzie mam napisane tak
\(\displaystyle{ r(A)=det\ lin\{w_1,...,w_m\} \ (V)\newline
r(B)=det\ lin\{v_1,...,v_m\}\ (U)\newline
r(A+B) \le dim(V+U)=dim(V)+dim(U)-dim(V \cap U) \le dim(V)+dim(U)=r(A)+r(B)}\)
Otoz mam problem z tym pierwszym znakiem \(\displaystyle{ \le}\)
Czy nie powinien tam byc znak rownosci?
\(\displaystyle{ r(A+B)=dim(V+U)=dim(V)+dim(U)-dim(V \cap U) \le dim(V)+dim(U)=r(A)+r(B)}\)
Chodzi mi o cos takiego, bo jakby na to nie spojrzec to to jest to
\(\displaystyle{ r(A+B)=dim(V)+dim(U)-dim(V \cap U) \le dim(V)+dim(U)=r(A)+r(B)}\)
Moglby mi ktos powiedziec skad tam znak \(\displaystyle{ \le}\) badz potwierdzic moja wersje?
Dziekuje bardzo za pomoc!

[Slup]

Postaram się wyklarować i odpowiedzieć na pytanie, bo piszesz tam jakieś dziwne rzeczy.
Bierzesz kolumny \(\displaystyle{ A}\) są to \(\displaystyle{ w_1,...,w_m}\). Bierzesz kolumny \(\displaystyle{ B}\) są to \(\displaystyle{ v_1,...,v_m}\). Niech teraz \(\displaystyle{ V=\mathrm{lin}(w_1,...,w_m)}\) oraz \(\displaystyle{ U=\mathrm{lin}(v_1,..,v_m)}\) tak jak u Ciebie. Wówczas \(\displaystyle{ \mathrm{dim}(V)=r(A)}\) oraz \(\displaystyle{ \mathrm{dim}(U)=r(B)}\).
Macierz \(\displaystyle{ A+B}\) ma kolumny \(\displaystyle{ w_1+v_1,...,w_m+v_m}\). Stąd jej ranga to:
\(\displaystyle{ r(A+B)=\mathrm{dim}(\mathrm{lin}(w_1+v_1,...,w_m+v_m))}\)
Wystarczy teraz zauważyć, że:
\(\displaystyle{ \mathrm{lin}(w_1+v_1,...,w_m+v_m)\subseteq \mathrm{lin}(w_1,...,w_m)+\mathrm{lin}(v_1,..,v_m)=V+U}\)
To daje(znak nierówności, o który pytasz):
\(\displaystyle{ r(A+B)=\mathrm{dim}(\mathrm{lin}(w_1+v_1,...,w_m+v_m))\leq}\)
\(\displaystyle{ \leq \mathrm{dim}(\mathrm{lin}(w_1,...,w_m)+\mathrm{lin}(v_1,..,v_m))=}\)
\(\displaystyle{ =\mathrm{dim}(V+U)=\mathrm{dim}(V)+\mathrm{dim}(U)-\mathrm{dim}(V\cap U)\leq}\)
\(\displaystyle{ \leq \mathrm{dim}(V)+\mathrm{dim}(U)=r(A)+r(B)}\)
Śmiało pytaj dalej, jeśli czegoś nie rozumiesz.

[filip96]

Dziękuje bardzo, brakowalo mi tu tego przejscia z kombinacjami liniowymi. Nie pomyslalem zeby to rozpisac tak dokladnie