Wielomian minimalny

[Benny01]

Jak udowodnić, że wielomian minimalny \(\displaystyle{ m( \lambda)}\) macierzy kwadratowej \(\displaystyle{ A}\) jest podzielnikiem każdego wielomianu anulującego tej macierzy?

[Slup]

Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie ciałem i \(\displaystyle{ A\in M_{n\times n}(k)}\) będzie macierzą zdefiniowaną nad tym ciałem. Niech \(\displaystyle{ m_A(x)}\) będzie wielomianem minimalnym dla \(\displaystyle{ A}\). Weźmy niezerowy wielomian \(\displaystyle{ p(x)}\) taki, że \(\displaystyle{ p(A)=0}\). Podzielmy \(\displaystyle{ p(x)}\) przez \(\displaystyle{ m_A(x)}\) z resztą:
\(\displaystyle{ p(x)=q(x)m_A(x)+r(x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ r(x)}\) jest wielomianem stopnia mniejszego niż \(\displaystyle{ m_A(x)}\). Wstawmy do tej równości \(\displaystyle{ x=A}\). Uzyskujemy:
\(\displaystyle{ 0=p(A)=q(A)m_A(A)+r(A)=q(A)0+r(A)=r(A)}\)
Stąd \(\displaystyle{ r(A)=0}\) i \(\displaystyle{ r(x)}\) jest stopnia mniejszego niż \(\displaystyle{ m_A(x)}\). Zatem:
\(\displaystyle{ r(x)=0}\)
i ostatecznie:
\(\displaystyle{ p(x)=q(x)m_A(x)}\)

[Benny01]

Dzięki