Witam. Proszę o sprawdzenie poprawności rozwiązania.
\(\displaystyle{ u=(x+1)}\)
\(\displaystyle{ w=(ax ^{2} +2x +a)}\)
iloczyn skalarny \(\displaystyle{ (u,w)= \int_{0}^{1}u(x)w(x)dx}\)
Warunek ortogonalności to iloczyn skalarny = 0, rozwiązuję całkę, przyrównuje do 0 i liczę parametr "a".
\(\displaystyle{ (u,w)= \int_{0}^{1}(x+1)(ax ^{2} +2x +a)dx}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}ax ^{3} +(2+a)x ^{2}+(2+a)x +a dx= 0}\)
\(\displaystyle{ a\int_{0}^{1}x ^{3}dx+(2+a)\int_{0}^{1}x ^{2}dx+(2+a)\int_{0}^{1}xdx+a\int_{0}^{1}dx=0}\)
Teraz
\(\displaystyle{ \frac{a}{4} x ^{4}| ^{x=1} _{x=0}+\frac{a+2}{3} x ^{3}| ^{x=1} _{x=0}+\frac{a+2}{2} x ^{2}| ^{x=1} _{x=0}+ax| ^{x=1} _{x=0}=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{3a}{12} +\frac{4a+8}{12}+\frac{6a+12}{12}+\frac{12a}{12}=0}\)
\(\displaystyle{ 25a+20=0}\)
\(\displaystyle{ a= -\frac{4}{5}}\)
Czy jest to rozwiązanie poprawne?
