Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni

[Sosjerka]

Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni:

\(\displaystyle{ V = {\left\ A \in M3x3 : A \cdot \begin{bmatrix} 0&0&0\\1&1&1\\-1&-1&-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}
{ \right\}}\)

Próbowałam rozwiązać to w ten sposób:
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0&0&0\\1&1&1\\-1&-1&-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\)

Z tego:

\(\displaystyle{ \begin{cases} b=c=s\\e=f=r\\h=i=t\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a,q,d, s, r,t \in R}\)

Baz w takim razie:
\(\displaystyle{ B=
\left\{ \begin{bmatrix} 0&1&1\\0&1&1\\0&1&1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}...
\right\}}\)

Co do wymiaru, wydaje mi się, że będzie to 9, ale nie wiem, jak to zrobić.

Czy dobrze rozumiem to zadanie?

[M Maciejewski]

Równanie dobrze rozwiązane, ale dalej źle.
Mamy:
\(\displaystyle{ V=\left\{\begin{pmatrix}a&b&b\\d&e&e\\g&h&h\end{pmatrix}\mid a,b,d,e,g,h\in \RR\right\}}\),
a więc bazą jest rodzina macierzy:
\(\displaystyle{ B=\left\{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}
\right\}}\).
Baza jest sześcioelementowa, więc \(\displaystyle{ \dim V=6}\). To już było wcześniej widoczne, ponieważ potrzebowaliśmy sześciu parametrów \(\displaystyle{ a,b,d,e,g,h}\), aby sparametryzować tę przestrzeń.