Czy to zadanie poprawnie wykonałam?
Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}}\) zadane jest przez macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&0&2\\2&1&1\\1&2&3\end{array}\right]}\)
w bazie \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\end{array}\right]}\).
a) Znaleźć macierz tego przekształcenia w bazie \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0&1&1\end{array}\right]}\).
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&0&2\\2&1&1\\1&2&3\end{array}\right]*\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4x+2z\\2x+y+z\\x+2y+3z\end{array}\right]}\)
czyli mój \(\displaystyle{ F(x,y,z)=\left[\begin{array}{c,c,c}4x+2z&2x+y+z&x+2y+3z\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ F(1,0,0)=[4,2,1]=\frac{3}{2}[1,0,1]+\frac{5}{2}[1,1,0]-\frac{1}{2}[0,1,1]}\)
\(\displaystyle{ F(1,1,0)=[4,3,3]=2[1,0,1]+2[1,1,0]+[0,1,1]}\)
\(\displaystyle{ F(1,1,1)=[6,4,6]=4[1,0,1]+2[1,1,0]+2[0,1,1]}\)
czyli szukana macierz to:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\frac{3}{2}&2&4\\\frac{5}{2}&2&2\\-\frac{1}{2}&1&2\end{array}\right]}\)
