Najlepsze rozwiązanie układu równań

[ronek22]

Nie rozumiem jednego rozwiązania z podręcznika.
Mam układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+y+z=1\\2x-y+z=1\\3x-3y+z=2 \end{array}\right.}\)
Teraz:
\(\displaystyle{ A^TA=\begin{bmatrix} 14&-10&6\\-10&11&-3\\6&-3&3\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ A^Tb=\begin{bmatrix} 9\\-6\\4\end{bmatrix}}\)
Macierz rozszerzona
\(\displaystyle{ [A^TA|A^Tb]=\begin{bmatrix} 1&0&\frac{2}{3}|&\frac{13}{18}\\0&1&\frac{1}{3}|&\frac{1}{9}\\0&0&0|&0\end{bmatrix}}\)

I rozwiązanie:
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{18}\begin{bmatrix} 13\\2\\0\end{bmatrix}+t*\begin{bmatrix} 2\\1\\-3\end{bmatrix}}\)

Nie wiem skąd się to wzieło:
\(\displaystyle{ t*\begin{bmatrix} 2\\1\\-3\end{bmatrix}}\)

Ja bym dał:
\(\displaystyle{ x=\begin{bmatrix} \frac{13}{18}-\frac{2}{3}z\\\frac{1}{9}-\frac{1}{3}z\\z\end{bmatrix}}\)

[Slup]

W terminach macierzowych Twoje równanie ma postać:
\(\displaystyle{ Ax=b}\)
gdzie \(\displaystyle{ A}\) tak jak u Ciebie oraz \(\displaystyle{ b=(1,1,2)}\).
Możesz sprawdzić, że \(\displaystyle{ A}\) jest odwracalna i dalej napisać:
\(\displaystyle{ x=A^{-1}b}\)

-- 6 cze 2016, o 18:12 --

Jeśli nie o to Ci chodziło, to daj znać.

[ronek22]

Nie do końca rozumiem,
To już jest ostatni etap:
\(\displaystyle{ [A^TA|A^Tb]=\begin{bmatrix} 1&0&\frac{2}{3}|&\frac{13}{18}\\0&1&\frac{1}{3}|&\frac{1}{9}\\0&0&0|&0\end{bmatrix}}\)
Tylko trzeba jeszcze z tego wyciągnąć rozwiązanie
No i ja próbuje tak:
\(\displaystyle{ x=\begin{bmatrix} \frac{13}{18}-\frac{2}{3}t\\\frac{1}{9}-\frac{1}{3}t\\t\end{bmatrix}}\)
Wyciągnę tak jak w odpowiedziach:
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{18}\begin{bmatrix} 13\\2\\0\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix} -\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\\1\end{bmatrix} \ne t*\begin{bmatrix} 2\\1\\-3\end{bmatrix}}\)
Dlaczego tak?

[Kartezjusz]

Wychodzi nawet sprzeczny.odejmij pierwsze równanie od drugiego i trzeciego

[Slup]

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc}
1 & 1& 1 &1\\
2 & -1 & 1 &1\\
3 & -3 & 1& 2\end{array} \right]
\sim \left[ \begin{array}{cccc}
1 & 1& 1 &1\\
0 & -3 & -1 &-1\\
0 & -6 & -2 &-1\end{array} \right]
\sim \left[ \begin{array}{cccc}
1 & 1& 1&1 \\
0 & -3 & -1&-1 \\
0 & -3 & -1&\frac{-1}{2} \end{array} \right]}\)
Faktycznie pomyliłem się(przy schodkowaniu macierzy- dzięki Kartezjusz!!!) \(\displaystyle{ A}\) nie jest odwracalna, a układ jest sprzeczny, czego dowodzi powyższy rachunek. Można też tak jak proponuje Kartezjusz. Czy Ty to rozumiesz ronek22?

[ronek22]

Wiem, że jest to układ sprzeczny.
Właśnie, dlatego robię to takim sposobem i szukam rozwiązania układu Ax=b czyli wektor x', dla którego odległość między wektorami Ax' i b jest najmniejsza z mozliwych.
Zbiór najlepszych rozwiązań jest identyczny ze zbiorem rozwiązań układu:
\(\displaystyle{ A^TAx=A^Tb}\)

[Slup]

Źle sformułowałeś pytanie. Jeśli piszesz:
\(\displaystyle{ Ax=b}\) to większość ludzi myśli, że szukasz rozwiązania tego układu tj. \(\displaystyle{ x}\) takiego, że ta równość naprawdę zachodzi.
Ty nie szukasz rozwiązania tego układu. Szukasz \(\displaystyle{ x}\) takiego, że:
\(\displaystyle{ ||Ax-b||=\inf_{z\in \mathbb{R}^3}||Az-b||}\)

[ronek22]

Przepraszam za wprowadzenie w błąd.

\(\displaystyle{ t\begin{bmatrix} -\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\\1\end{bmatrix} \ne t\begin{bmatrix} 2\\1\\-3\end{bmatrix}}\)

Teraz tak patrzę to tu jest wyjęta -1/3 sprzed macierzy, ale czy wtedy przy t nie powinna stać ta -1/3 czy to nie ma znaczenia bo i tak \(\displaystyle{ t \in \RR}\)