Sprawdzić czy jest podprzestrzenią

[ronek22]

Sprawdzić, czy
\(\displaystyle{ S=\{(x,y,z) \in \RR^3: (3x-y+z,x+y+z)=(1,2)\}}\)
jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\)

Wydaję, mi się że nie jest, bo podprzestrzeń musi zawierać wektor zerowy, a jeśli:
\(\displaystyle{ (x,y,z)=(0,0,0) \Rightarrow (3x-y+z,x+y+z)=(0,0) \ne (1,2)}\)

Dobrze rozumuje?

[Slup]

Tak. Argument ma sens. Tylko zapis masz nieporawny. Powinieneś napisać:
\(\displaystyle{ (0,0,0)\in S \Rightarrow (3\cdot 0-1\cdot 0+1\cdot 0,1\cdot 0,1\cdot 0,1\cdot 0)=(1,2) \Rightarrow 0=1\, \text{i}\,0=2}\)
Czyli sprzeczność. Zatem \(\displaystyle{ (0,0,0)\not \in S}\) i \(\displaystyle{ S}\) nie jest podprzestrzenią.

[ronek22]

Mam kolejny przykład za który nie wiem jak się zabrać:
Sprawdzić, czy \(\displaystyle{ S = \{X \in \RR_{2x2}: AX = 0\}}\) jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ \RR_{2x2}}\), gdy \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}1&1\\2&2 \end{bmatrix}}\)
Gdy tworze sobie macierz rozszerzoną [A|0] to wychodzi mi, że:
\(\displaystyle{ x=\begin{bmatrix} -x_{2}\\x_{2} \end{bmatrix}}\)

[M Maciejewski]

Trzeba sprawdzić, czy jeśli \(\displaystyle{ X\in S}\), to \(\displaystyle{ \alpha\cdot X\in S}\) oraz czy jeśli \(\displaystyle{ X,Y\in S}\), to \(\displaystyle{ X+Y\in S}\).
Innymi słowy, trzeba sprawdzić, czy:
\(\displaystyle{ AX=0\implies A(\alpha\cdot X)=0}\) oraz
\(\displaystyle{ AX=AY=0\implies A(X+Y)=0}\).

[ronek22]

Mam brać X takie, że:\(\displaystyle{ X \in \RR_{2x2}}\)
Ale z rozwiązania \(\displaystyle{ AX=0}\), wyszła mi macierz \(\displaystyle{ X \in \RR_{2x1}}\)
Jak sprawdzałem to, nieważne co podstawimy pod \(\displaystyle{ x_{2}}\) do tego wektora \(\displaystyle{ x=\begin{bmatrix} -x_{2}\\x_{2} \end{bmatrix}}\)to zawsze wynikiem będzie wektor 0, także przy mnożeniu przez skalar.

Ale czy za \(\displaystyle{ X}\) nie powinienem brać wektora \(\displaystyle{ \RR_{2x2}}\)?

[M Maciejewski]

Po pierwsze w tym zadaniu nie trzeba wcale wyznaczać zbioru \(\displaystyle{ S}\), tylko dowieść, że jest to podprzestrzeń. Wyniknie to prosto z tego, co napisałem.
Jeśli jednak chcesz wyznaczyć tę podprzestrzeń, to należy to zrobić tak, aby \(\displaystyle{ X \in \RR_{2\times 2}}\), bo taka jest definicja \(\displaystyle{ S}\). Należy znaleźć wszystkie takie macierze \(\displaystyle{ X}\), że jak się wymnoży \(\displaystyle{ A\cdot X}\) macierzowo, to wyjdzie macierz zerowa. Ma to coś wspólnego z tym, co wyliczyłeś, a dokładniej z kolumnami macierzy, ale możesz to wyliczyć bezpośrednio.

Jak jednak pisałem, ja bym zbioru \(\displaystyle{ S}\) nie wyznaczał.

[ronek22]

Dzięki wielkie,
Już chyba załapałem o co chodzi,
AX = 0 -> \(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} -x\\x \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \alpha \cdot X = \begin{bmatrix} -\alpha x\\\alpha x \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ A(\alpha\cdot X) = \begin{bmatrix}1&1\\2&2 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} -\alpha x\\\alpha x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ Y = \begin{bmatrix} -y\\y \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ X+Y = \begin{bmatrix} -x-y\\x+y \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ A(X+Y)=\begin{bmatrix}1&1\\2&2 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} -x-y\\x+y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}}\)

[M Maciejewski]

Nie. Przecież pisałem, że \(\displaystyle{ S\subset \RR_{2\times 2}}\).
Rozwiązaniem mają być macierze \(\displaystyle{ 2\times 2}\)!
Zatem \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in S\iff A\cdot \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\)

[ronek22]

Coś takiego?
Z wymnozenia A przez \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix}}\) Otrzymałem, że: \(\displaystyle{ c=-a \textrm{ i } d=-b}\)
AX = 0 -> \(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} a&b\\-a&-b \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \alpha \cdot X = \begin{bmatrix} \alpha a&\alpha b\\ -\alpha a&-\alpha b \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ A(\alpha\cdot X) = \begin{bmatrix}1&1\\2&2 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} \alpha a&\alpha b\\ -\alpha a&-\alpha b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ Y = \begin{bmatrix} x&y\\-x&-y \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ X+Y = \begin{bmatrix} a+x&b+y\\-a-x&-b-y \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ A(X+Y)=\begin{bmatrix}1&1\\2&2 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} a+x&b+y\\-a-x&-b-y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}}\)

[a4karo]

Jest ok, ale mało elegancko. Wyznaczenie jawnej postaci macierzy jest niepotrzebne.

Jeżeli \(\displaystyle{ X, Y\in S}\), to \(\displaystyle{ A(X+Y) =AX+AY=0}\), wiec ich suma też jest w \(\displaystyle{ S}\).
Podobnie pokaż drugą część.