Baza ortonormalna

Bormac · Post autor: **Bormac** » 3 wrz 2007, o 20:32

Zbadaj, czy podany układ wektorów \(\displaystyle{ \{ (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}), (\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}), (-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}) \}}\) jest bazą ortonormalną przestrzeni \(\displaystyle{ V_{3}}\).

Dzięki za każdą pomoc.

Emiel Regis · Post autor: **Emiel Regis** » 3 wrz 2007, o 21:17

Pierwsza kwestia co to \(\displaystyle{ V_3?}\)
Rozsądne wyjście że \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\)
Wtedy:

Należy sprawdzić dwie rzeczy:
1. Czy każdy wektor ma długość 1.
2. Czy są one ortogonalne, czyli policzyć iloczyny skalarne każdego z każdym i sprawdzić czy wychodzi zero.

bodwick · Post autor: **bodwick** » 4 wrz 2007, o 17:15

Są bazą ortonormalna .. primo są liniowo niezależne .. ortogonalne a na dodatek jednostkowej długości.

Emiel Regis · Post autor: **Emiel Regis** » 4 wrz 2007, o 23:14

Ortogonalność już implikuje liniową niezależność.

bodwick · Post autor: **bodwick** » 5 wrz 2007, o 01:39

Sie wie, sie wie .. to było tak ku ścisłości, no nie da się ukryć. Szybciej (bynajmniej mi ) sprawdzić rząd macierzy niż bawić się w wymnażanie tych wektorów. Żeby nikt zainteresowany nie miał wątpliwości - jednostkową długość sprawdziłbym z \(\displaystyle{ V^{T} V = 1}\) , a ortogonalność \(\displaystyle{ V^{T}_{i} V_{j} = 0}\) dla i≠j. Szybciutko jest z wektorów zrobić macierz i jak mówiłem sprawdzić jej rząd .. tu mamy macierz kwadratowa - wystarczy żeby jej wyznacznik był niezerowy.

Victoria_Black · Post autor: **Victoria_Black** » 25 sty 2009, o 21:46

Czy mógłby ktoś to rozwiązać po kolei? Błagam! ;(