Kolokwium (PWr)

[vertizze]

Witam,
mam duży problem z rozwiązaniem tych czterech zadań na kolokwium.
Bardzo prosiłbym o pomoc lub jakąś podpowiedź.
1) Znaleźć wektory i wartości własne przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ L: \RR^{3}\rightarrow\RR^{3}}\) , które jest symetrią względem płaszczyzny: \(\displaystyle{ \pi : z = y}\).
2) W bazach standardowych wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ \RR_{2} \left[ x \right] \rightarrow \RR_{3} \left[ x \right]}\) określonego wzorem:
\(\displaystyle{ L \left( p \right) \left( x \right) = \int_{0}^{x} p \left( t \right) dt + p \left( 1 \right)}\).
3) Zastosować algorytm Grama-Schmidta do zortogonalizowania poniższych wektorów z przestrzeni euklidesowej \(\displaystyle{ \EE^{5}}\) i następnie sprawdzić wynik:
\(\displaystyle{ \vec { u_{1} } = \left( 1, -1, 1, 0, 0 \right)}\), \(\displaystyle{ \vec{u _{2}} = \left( 0, 1, -1, 1, 0 \right)}\) , \(\displaystyle{ \vec{u_{3} } = \left( 0, 0, 1, -1, 1 \right)}\) .
4) Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni:
\(\displaystyle{ V = \left\{ A \in M_{3x3} : A \cdot \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&1&1\\-1&-1&-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right] \right\}}\)

[miodzio1988]

3 i 2 są najłatwiejsze.

W zad 2 o jakich bazach tutaj jest mowa? To powinieneś wiedziec

[vertizze]

Tzn. napisałem tam, że to są zwykłe bazy standardowe (czyli zbiory wektorów), do innych się nie odwoływaliśmy

[miodzio1988]

czyli konkretnie jakie są to bazy? To musisz wiedzieć i na to musisz odpowiedzieć

[vertizze]

Bazy kanoniczne, czyli układy wektorów osi x, y, z.

[leg14]

Jak nie wiesz to zrob dla baz postaci \(\displaystyle{ 1,x,x^2,x^3,...}\), bo pewnie o takie chodzilo. W 4 rozwiaz to rownanie i utozsam przestrzen macierzy \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) z \(\displaystyle{ \RR^{9}}\).


edit: A czym sa osie w tej przestrzeni?