Iloczyn skalarny

[wojtek915]

Obliczyć iloczyn skalarny wektorów \(\displaystyle{ u = -2p+4q , v = 3p+q}\) wiedząc, że kąt między wektorami p i q wynosi 60 stopni \(\displaystyle{ \left|p \right| = 3,\left| q \right| = 2}\).

Zacząłem to robić:
\(\displaystyle{ \left|u \right| = 2}\),
\(\displaystyle{ \left| v \right| = 11}\)

ale brakuje mi jeszcze kąta pomiędzy wektorami u i v.

Obliczyłem iloczyn skalarny p i q i jest równy 3, ale nie wiem co to mi daje.

[Premislav]

Bardzo dużo Ci to daje. \(\displaystyle{ (u,v)=(-2p+4q,3p+q)}\) (te nawiasy to iloczyn skalarny, nie wiem, może u Ciebie jest np. \(\displaystyle{ \left\langle \right\rangle}\) lub \(\displaystyle{ \cdot}\)) i rozpisz to, korzystając z dwuliniowości iloczynu skalarnego nad \(\displaystyle{ \RR}\) (rozumiem, że nad \(\displaystyle{ \RR}\), skoro kąt się pojawia...
w przestrzeniach unitarnych zespolonych natomiast iloczyn skalarny jest półtoraliniowy, tj. różnica jest taka, że \(\displaystyle{ (u,v)=\overline{(v,u)}}\)).

[wojtek915]

Próbowałem to rozwiązać, ale niestety nie potrafię. Nie miałem na zajęciach dwuliniowości

[Premislav]

To musi być świetny prowadzący, skoro masz do zrobienia zadanie z iloczynu skalarnego, a niepodane zostały własności iloczynu skalarnego... Jakoś nie bardzo w to wierzę.
Dla dowolnych skalarów \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) i wektorów \(\displaystyle{ a,b,c}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \left\langle \alpha a+\beta b, c\right\rangle =\alpha\left\langle a,c\right\rangle+\beta\left\langle b,c\right\rangle}\) oraz \(\displaystyle{ \left\langle c, \alpha a+\beta b\right\rangle=\alpha\left\langle c,a\right\rangle+\beta\left\langle c,b\right\rangle}\) - to właśnie jest dwuliniowość.
[tj. tak, jak zwykła liniowość, która powinieneś znać - jednorodność i addytywność, tylko ze względu na obie zmienne]-- 3 cze 2016, o 21:24 --Może uzupełnię, że to, co napisałem, jest równoważne jednorodności i addytywności ze względu na pierwszą, jak i drugą zmienną, ale nie jest to jednorodność i addytywność in se.