Znaleźć wzór na przekształcenie liniowe

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
wojtek915
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 20 kwie 2016, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wroclaw
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3 razy

Znaleźć wzór na przekształcenie liniowe

Post autor: wojtek915 »

Znaleźć wzór na przekształcenie odwrotne do przekształcenia liniowego liniowego
\(\displaystyle{ L: R^{3} \rightarrow R^{3}}\) zadanego wzorem:
\(\displaystyle{ L(x,y,z)=(2y-3x,2x-y,5x-3y+z)}\).

Rozwiązałem to zadanie następująco:

Wyznacznik różny od zera, więc jest odwzorowanie odwrotne.
Wyznaczam macierz odwrotną:
\(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{cccccc} -3&2&0&1&0&0 \\ 2&-1&0&0&1&0 \\5&-3&1&0&0&1 \end{array} \right]}\)

Macierz odwrotna wyszła:
\(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{cccccc} 1&0&0& \frac{1}{5} &\frac{3}{5}&0 \\ 0&1&0&\frac{2}{5}&\frac{1}{5}&0 \\0&0&1&1&-1&1 \end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ L ^{-1} (x,y,z)=\left[ \begin{array}{cccccc} 1&0&0& \frac{1}{5} &\frac{3}{5}&0 \\ 0&1&0&\frac{2}{5}&\frac{1}{5}&0 \\0&0&1&1&-1&1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \end{array} \right]=\frac{1}{5}(x+3y,2x+y,5x-5y+5z)}\)

Proszę o sprawdzenie, ponieważ mam wynik tego zadania z książki, ale nie mogę znaleźć błędu u siebie.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Znaleźć wzór na przekształcenie liniowe

Post autor: a4karo »

Wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ L}\) jest równy \(\displaystyle{ -1}\), więc wynik powinien być macierzą o współczynnikach calkowitych.

Nie pokazales obliczeń, więc trudno wskazać błąd.
SidCom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 5 sty 2012, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 125 razy

Znaleźć wzór na przekształcenie liniowe

Post autor: SidCom »

Macierz odwrotna:

\(\displaystyle{ A^{-1}=\left[ \begin{array}{ccc} 1&2&0 \\ 2&3&0 \\1&-1&1 \end{array} \right]}\)
wojtek915
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 20 kwie 2016, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wroclaw
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3 razy

Znaleźć wzór na przekształcenie liniowe

Post autor: wojtek915 »

Ok, już znalazłem błąd, dziękuję bardzo.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Znaleźć wzór na przekształcenie liniowe

Post autor: a4karo »

wojtek915 pisze:Znaleźć wzór na przekształcenie odwrotne do przekształcenia liniowego liniowego
\(\displaystyle{ L: R^{3} \rightarrow R^{3}}\) zadanego wzorem:
\(\displaystyle{ L(x,y,z)=(2y-3x,2x-y,5x-3y+z)}\).

Rozwiązałem to zadanie następująco:

Wyznacznik różny od zera, więc jest odwzorowanie odwrotne.
Wyznaczam macierz odwrotną:
\(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{cccccc} -3&2&0&1&0&0 \\ 2&-1&0&0&1&0 \\5&-3&1&0&0&1 \end{array} \right]}\)

Macierz odwrotna wyszła:
\(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{cccccc} 1&0&0& \frac{1}{5} &\frac{3}{5}&0 \\ 0&1&0&\frac{2}{5}&\frac{1}{5}&0 \\0&0&1&1&-1&1 \end{array} \right]}\)
Ten zapisz to koszmar: obie macierze oznaczasz tą samą literą, a przecież one nie są równe
po drugie: macierz \(\displaystyle{ 3\times 6}\) raczej nie ma macierzy odwrotnej

\(\displaystyle{ L ^{-1} (x,y,z)=\left[ \begin{array}{cccccc} 1&0&0& \frac{1}{5} &\frac{3}{5}&0 \\ 0&1&0&\frac{2}{5}&\frac{1}{5}&0 \\0&0&1&1&-1&1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \end{array} \right]=\frac{1}{5}(x+3y,2x+y,5x-5y+5z)}\)

Proszę o sprawdzenie, ponieważ mam wynik tego zadania z książki, ale nie mogę znaleźć błędu u siebie.
Po trzecie: macierzy \(\displaystyle{ 3\times 6}\) nie da się pomnożyc przez maicerz \(\displaystyle{ 3\times 1}\)
ODPOWIEDZ