Sprowadzić formę do postaci

[max123321]

Forma kwadratowa na przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{3}}\) przyjmuje w bazie standardowej postać:
\(\displaystyle{ Q\left( x\right)=x _{1} ^{2}+4x _{1}x _{2}+3x _{1}x _{3}-2x _{2}x _{3} +x _{2}^{2}}\)
Sprowadzić formę do postaci diagonalnej metodą Lagrange`a. Podać postać diagonalną oraz określić sygnaturę formy. Podać macierz \(\displaystyle{ P}\) przejścia do nowej bazy.

Próbuję w ten sposób.
\(\displaystyle{ Q\left( x\right)=x _{1} ^{2}+4x _{1}x _{2}+3x _{1}x _{3}-2x _{2}x _{3} +x _{2}^{2}}\)
\(\displaystyle{ Q\left( x\right)=x _{1} ^{2}+2x _{1}2x _{2}+2* \frac{3}{2} x _{1}x _{3}+4x _{2}^{2}+ \frac{9}{4}x _{3}^{2}+2*3x _{2}x _{3}-4x _{2}^{2}- \frac{9}{4}x _{3}^{2}-2*3x _{2}x _{3} -2x _{2}x _{3} +x _{2}^{2}}\)
\(\displaystyle{ Q\left( x\right)=\left( x _{1}+2x _{2}+ \frac{3}{2}x _{3} \right) ^{2}-3x _{2} ^{2}- \frac{9}{4}x _{3} ^{2}-8x _{2}x _{3}}\)
\(\displaystyle{ Q\left( x\right)=\left( x _{1}+2x _{2}+ \frac{3}{2}x _{3} \right) ^{2}-\left( \left( \frac{3}{2}x _{3}+ \frac{8}{3}x _{2} \right) ^{2}-4 \frac{1}{9}x _{2} ^{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ Q\left( x\right)=\left( x _{1}+2x _{2}+ \frac{3}{2}x _{3} \right) ^{2}- \frac{9}{4} \left( x _{3}+ \frac{16}{9}x _{2} \right) ^{2}+ \frac{37}{9}x _{2} ^{2}}\)

Dobrze? Czyli sygnatura formy wynosi \(\displaystyle{ \left( 2,1\right)}\)? Jak określić macierz przejscia?

[M Maciejewski]

Wg mnie wszystko jest obliczone dobrze.-- 30 maja 2016, o 18:39 --Acha, było jeszcze pytanie o macierz przejścia. jak rozumiem, macierzą przejścia jest taka macierz \(\displaystyle{ P}\), że
\(\displaystyle{ Q(x)=x^TP^T\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-\frac 94&0\\ 0&0&\frac{37}9\end{pmatrix}Px}\).
Aby tak się stało, musi zajść:
\(\displaystyle{ Px=\begin{pmatrix}x_1+2x_2+\frac 32 x_3 \\x_3+\frac {16}9 x_2\\ x_2\end{pmatrix}}\). Stąd łatwo dostać macierz \(\displaystyle{ P}\).

[max123321]

A skąd się biorą te macierze? W sensie jaki jest ogólny wzór na to:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&0&0\\0&-\frac 94&0\\ 0&0&\frac{37}9\end{pmatrix}}\) i na to:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}x_1+2x_2+\frac 32 x_3 \\x_3+\frac {16}9 x_2\\ x_2\end{pmatrix}}\)

[M Maciejewski]

Forma jest diagonalna, jeśli jest postaci
\(\displaystyle{ F(x)=F(x_1,x_2,\ldots,x_n)=a_1x_1^2+a_2x_2^2+\cdots+a_nx_n^2=
x^T\cdot
\begin{pmatrix}
a_1 & 0 & 0 & \cdots \\
0 & a_2 & 0 & \cdots \\
0 & 0 & a_3 & \cdots\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{pmatrix}
\cdot x}\)
W Twoim przypadku dostałeś współczynniki \(\displaystyle{ a_1=1, a_2=-\frac 94,a_3=\frac {37}9}\).

Teraz, aby zachodziła równość
\(\displaystyle{ Q(x)=x^T\left(P^T\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-\frac 94&0\\ 0&0&\frac{37}9\end{pmatrix}P\right)x=(Px)^T\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-\frac 94&0\\ 0&0&\frac{37}9\end{pmatrix}Px}\),
powinno zajść:
\(\displaystyle{ \left( x _{1}+2x _{2}+ \frac{3}{2}x _{3} \right) ^{2}- \frac{9}{4} \left( x _{3}+ \frac{16}{9}x _{2} \right) ^{2}+ \frac{37}{9}x _{2} ^{2}=Q(x)\\=a_1((Px)_1)^2+a_2((Px)_2)^2+((Px)_3)^2.}\)

Stąd równość:
\(\displaystyle{ Px=\begin{pmatrix}x_1+2x_2+\frac 32 x_3 \\x_3+\frac {16}9 x_2\\ x_2\end{pmatrix}}\).

Nota bene, można doprowadzić do macierzy ze współczynnikami \(\displaystyle{ \pm 1}\) na przekątnej. Wystarczy napisać:
\(\displaystyle{ Q\left( x\right)=\left( x _{1}+2x _{2}+ \frac{3}{2}x _{3} \right) ^{2}- \left(\frac 32 x _{3}+ \frac{8}{3}x _{2} \right) ^{2}+ \left(\frac{\sqrt{37}}{3}x _{2}\right) ^{2}.}\)

[max123321]

Czyli w tym przypadku ta macierz przejścia wyjdzie:

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc}1&2& \frac{3}{2} \\0& \frac{16}{9}&1\\ 0&1&0\end{array}\right]}\)

Zgadza się?