Problem z rozpisaniem macierzy.

Ermenta · Post autor: **Ermenta** » 28 maja 2016, o 19:03

Dzień dobry
Nie mam problemu z zadaniami tego rodzaju, ale w tym wypadku nie potrafię rozpisać danego niżej operatora w postaci macierzowej.
Prosiłbym żeby ktoś rozpisał mi jak wyglądałyby wektorki i macierz dla tych warunków i w miarę możliwości wyjaśnił...

Niech \(\displaystyle{ V:= \mathbb{K}[x,y]}\) będzie przestrzenią wielomianów stopnia \(\displaystyle{ \le 3}\) zmiennych x i y. Znaleźć bazę i rozkład Jordanowski operatora \(\displaystyle{ N \in End V}\), zdefiniowanego wzorem \(\displaystyle{ N:= \frac{ \partial ^{2}}{ \partial x \partial y}}\).

a4karo · Post autor: **a4karo** » 28 maja 2016, o 19:06

Znajdź bazę i zobacz jak na jej elementach działa operator

Ermenta · Post autor: **Ermenta** » 28 maja 2016, o 20:05

hmm..
Czy baza powinna wyglądać tak:
\(\displaystyle{ A=\left\{ x ^{3}, x ^{2},x, y ^{3}, y ^{2},y,1 \right\}}\) ?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 28 maja 2016, o 20:20

A jak dostaniesz \(\displaystyle{ xy, xy^2}\) etc?

Ermenta · Post autor: **Ermenta** » 28 maja 2016, o 20:37

Racja..
Jeżeli teraz dopiszę wszystkie mieszane wyrazy, to wektorem bazy będzie jeden długi 16-elementowy wektor? Czy może należy to rozpisać w postaci kilku wektorów?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 28 maja 2016, o 20:38

A ile wymiarów ma ta przestrzen? jeden?

Ermenta · Post autor: **Ermenta** » 28 maja 2016, o 20:49

Racja..
Otrzymamy macierz 4x4:\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&x&x^2&x^3\\y&yx&y x^2&y x^3\\y^2&y^2 x&y^2 x^2&y^2 x^3\\y^3&y^3 x&y^3 x^2&y^3 x^3\end{array}\right]}\) ?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 28 maja 2016, o 21:51

MAcierz czego?

Wilomiany mają być stopnia \(\displaystyle{ \leq 3}\), więc w przestrzeni nie ma \(\displaystyle{ x^2y^2}\) etc... Do poprawki.
Wypisz wektory bazowe.

Ermenta · Post autor: **Ermenta** » 28 maja 2016, o 22:23

W takim razie jedyną możliwością jaką widzę jest \(\displaystyle{ A=\left\{ x ^{3},xy^2, yx^2, y ^{3},x^2, y ^{2}, xy, x, y,1 \right\}}\).

a4karo · Post autor: **a4karo** » 28 maja 2016, o 22:24

Ok. Teraz napisz jak na każdy z tych wektorów działa operator.

Ermenta · Post autor: **Ermenta** » 28 maja 2016, o 22:35

\(\displaystyle{ B=\left\{ 0, 2y, 2x, 0, 0, 0, 1, 0, 0,0 \right\}}\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 28 maja 2016, o 23:31

no własnie. jak zatem wyglada macierz (chodzi o macierz \(\displaystyle{ 10\times 10}\)

Ermenta · Post autor: **Ermenta** » 28 maja 2016, o 23:53

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&2&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&2&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}\) ??

a4karo · Post autor: **a4karo** » 28 maja 2016, o 23:55

no nie, te wyrazy nie moga stac na przekątnych

Ermenta · Post autor: **Ermenta** » 29 maja 2016, o 00:05

Czyli po prostu \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&2&2&0&0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}\) ?