Forma dwuliniowa

[max123321]

Forma dwuliniowa \(\displaystyle{ f}\) ma w pewnej bazie macierz \(\displaystyle{ F}\). Obliczyć \(\displaystyle{ f\left( x,y\right)}\), jeśli
\(\displaystyle{ F=\left[ \begin{array}{ccc}1&-1&1\\-2&-1&3\\0&4&5\end{array}\right]}\),\(\displaystyle{ x=\left[\begin{array}{c}1\\0\\3\end{array} \right]}\),
\(\displaystyle{ y=\left[\begin{array}{c}-1\\2\\-4\end{array} \right]}\)

Wyznaczyć macierz formy \(\displaystyle{ f}\) w nowej bazie jeśli podane są wzory przejścia od bazy starej do nowej:
\(\displaystyle{ e _{1}'=e _{1}-e _{2}}\)
\(\displaystyle{ e _{2}'=e _{1}+e _{3}}\)
\(\displaystyle{ e _{3}'=e _{1}+e _{2}+e _{3}}\)

[SlotaWoj]

• \(\displaystyle{ f(\textbf{x},\textbf{y})=\textbf{x}^{\mathrm{T}}\textbf{F}\,\textbf{y} \\
  \textbf{e}'=\textbf{B}\,\textbf{e} \\
  \textbf{x}'=\textbf{x}_{\textbf{e}'}=\textbf{B}^{-1}\textbf{x}_{\textbf{e}} \\
  \textbf{F}'=\textbf{B}^{\red{{\mathrm{T}}}}\textbf{F}\,\textbf{B}}\)

Edit:
Powyżej jest błąd, który zaznaczyłem na czerwono.
Poprawny wzór i komentarz w moim poście z 10 cze 2016, o 03:26.

[max123321]

No to w takim razie \(\displaystyle{ f(\textbf{x},\textbf{y})=-43}\) mi wyszło, dobrze? A jak obliczyć \(\displaystyle{ \textbf{F}'}\) to nie wiem bo nie wiem jak wyznaczyć \(\displaystyle{ \textbf{B}}\).

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ f(\textbf{x},\textbf{y})}\) dobrze.

\(\displaystyle{ e _{1}'=e _{1}-e _{2}}\)
\(\displaystyle{ e _{2}'=e _{1}+e _{3}}\)
\(\displaystyle{ e _{3}'=e _{1}+e _{2}+e _{3}}\)

Tu masz macierz \(\displaystyle{ \textbf{B}}\).

[max123321]

A jak z tego odczytać macierz \(\displaystyle{ \textbf{B}}\) bo za bardzo nie wiem?

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ \begin{cases}
\ e _1'=1\cdot e _1-1\cdot e _2+0\cdot e_3 \\
\ e _2'=1\cdot e _1+0\cdot e_2+1\cdot e _3 \\
\ e _3'=1\cdot e _1+1\cdot e _2+1\cdot e _3
\end{cases} \Rightarrow\ \ \textbf{e}'=\textbf{B}\,\textbf{e}}\)

[max123321]

Aha takie buty. No fakt logiczne. No to w takim razie macierz \(\displaystyle{ F'}\) wyszła mi:

\(\displaystyle{ \textbf{F}'=\left[ \begin{array}{ccc}10&10&11\\8&5&9\\9&10&11\end{array}\right]}\)

Dobrze?

[SlotaWoj]

Tak!

[max123321]

Ale nie rozumiem za bardzo tego. Skąd to się wzieło?
\(\displaystyle{ \textbf{x}'=\textbf{x}_{\textbf{e}'}=\textbf{B}^{-1}\textbf{x}_{\textbf{e}} \\
\textbf{F}'=\textbf{B}^{\mathrm{T}}\textbf{F}\,\textbf{B}}\)

[SlotaWoj]

• \(\displaystyle{ f(\textbf{x},\textbf{y})=\textbf{x}^{\mathrm{T}}\textbf{F}\,\textbf{y} \\
  \textbf{e}'=\textbf{B}\,\textbf{e} \\
  \textbf{x}'=\textbf{x}_{\textbf{e}'}=\textbf{B}^{-1}\textbf{x}_{\textbf{e}} \\
  \textbf{F}'=\textbf{B}^{\red{{\mathrm{T}}}}\textbf{F}\,\textbf{B}}\)

Symbol transpozycji w ostatnim wzorze jest błędny.

Bardzo namotałem w ww. poście, bo \(\displaystyle{ \textbf{B}}\) miało być macierzą przejścia między bazami, a jest transponowaną macierzy przejścia, ze wszystkimi tego konsekwencjami. Oczekiwałem też, że będzie \(\displaystyle{ f(x,y)=f(x',y')}\) i skoro tak mi wyszło w sprawdzeniu, sądziłem że jest OK.
Zmyliło mnie też to, że w źródłach, z których korzystałem (aby być pewnym) stosowana była różne symboliki i konwencje. Wydaje mi się, że najprzystępniej całość jest przedstawiona

Kod: Zaznacz cały

http://wms.mat.agh.edu.pl/~msekowsk/zmiana_bazy.pdf

.

W macierzy przejścia między bazami w kolumnie \(\displaystyle{ j}\) są współrzędne \(\displaystyle{ j\mbox{-tego}}\) wektora nowej bazy względem starej bazy. Więc gdy oznaczymy macierz przejścia przez \(\displaystyle{ \textbf{P}}\) (jest to dość często stosowane oznaczenie) mamy:

• \(\displaystyle{ \textbf{e}'=\textbf{P}^{\mathrm{T}}\textbf{e} \\
  \textbf{x}'=\textbf{x}_{\textbf{e}'}=\textbf{P}^{-1}\textbf{x}_{\textbf{e}}=\textbf{P}^{-1}\textbf{x} \\
  \textbf{F}'=\textbf{P}^{-1}\textbf{F}\,\textbf{P}}\)

W przypadku tego zadania zachodzi \(\displaystyle{ f(x,y)\neq f(x',y')}\) czego się nie spodziewałem i miało też wpływ na błąd, który popełniłem.