Macierz przekształcenia liniowego

[max123321]

Macierz przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ f:R ^{2} \rightarrow R ^{2}}\) w bazie standardowej \(\displaystyle{ e _{1}=\left( 1,0\right),e _{2}=\left( 0,1\right)}\) przyjmuje postać:

\(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{cc} 2&1 \\ 1&2 \end{array} \right]}\)

Niech \(\displaystyle{ v _{1},v _{2}}\) oznaczają wektory własne tego przekształcenia. Zapisać macierz przekształcenia \(\displaystyle{ f}\) w bazie \(\displaystyle{ \left\{v _{1},v _{2} \right\}}\).Zapisać macierz przekształcenia \(\displaystyle{ f}\) w bazie \(\displaystyle{ \left\{e _{1}',e _{2}' \right\}:e _{1}'=\left( 1,2\right),e _{2}'=\left( 1,3\right)}\)

Wartości własne wyszły mi \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 3}\). Wektor własny dla \(\displaystyle{ 1}\) wyszedł \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c} 1\\-1 \end{array}\right]}\) oraz dla wartości \(\displaystyle{ 3}\), \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c} 1\\1 \end{array}\right]}\). Dobrze? Jak zatem zapisać macierz w bazie wektorów własnych?

[AloneAngel]

Zacznij od przypomnienia sobie jak tworzy się macierz odwzorowania liniowego w podanych bazach, pamiętamy?-- 28 maja 2016, o 11:18 --Podpowiem, że mamy dwie drogi:

(1) Skoro mamy macierz odwzorowania w bazie kanonicznej to z łatwością odzyskamy wzór tego odwzorowania i klasycznie wyznaczamy macierze w bazach;

(2) Stosujemy wzór na macierz przekształcenia liniowego w innej bazie (jeżeli takowy znasz);

[max123321]

Tak średnio. Widziałem przykład na wikipedii, ale nie bardzo go rozumiem.

[AloneAngel]

Z postaci macierzy w bazie kanonicznej wiemy, że \(\displaystyle{ f(x,y) = (2x+y,x+2y)}\)
Chcemy policzyć teraz macierz tego odwzorowania w bazie \(\displaystyle{ B= \{ [1,2], [1,3] \}}\)
Liczymy najpierw \(\displaystyle{ f(1,2) = (4,5), \ f(1,3) = (5,7)}\). Teraz \(\displaystyle{ (4,5)}\) musisz zapisać jako kombinacja liniowa wektorów z bazy \(\displaystyle{ B}\) i wpisujesz je pionowo do macierzy. Teraz \(\displaystyle{ (5,7)}\) zapisujesz jako kombinacja liniowa wektorów z bazy \(\displaystyle{ B}\) i wpisujesz w kolumnie obok do macierzy. Tak utworzona macierz jest poszukiwaną macierzą tego odwzorowania w tej bazie.

[max123321]

To w takim razie ta poszukiwana macierz wyszła mi:

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} 7&8\\-3&-3 \end{array}\right]}\)

Dobrze?

A jakby macierz \(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{cc} 1&2\\3&4 \end{array}\right]}\)
To odwzorowanie liniowe byłoby równe:
\(\displaystyle{ f\left( x,y\right)=\left( x+3y,2x+4y\right)}\), tak?

[AloneAngel]

Tak, Twoja macierz wyszła dobra.

Jeżeli wiesz, że macierz \(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{cc} 1&2\\3&4 \end{array}\right]}\) to macierz odwzorowania liniowego w bazach kanonicznych (bardzo ważne) to wtedy wzór odwzorowania to \(\displaystyle{ f(x,y) = (x+2y, 3x+4y)}\) (odczytujesz to powiedzmy "poziomo" ).

[max123321]

aha dobra. A baza kanoniczna to jest standartowa w sensie zero-jedynkowa? A jakbyśmy mieli inną bazę na początku nie-zerojedynkową to jak należałoby odczytać przekształcenie liniowe?

[AloneAngel]

No to wtedy najłatwiej skorzystać ze wzoru na macierz odwzorowania liniowego w różnych bazach. Niestety jestem teraz doskoku i nie mam możliwości Ci go wyjaśnienia, poczytaj gdzieś na internecie albo poszukaj na forum.

Baza kanoniczna to w naszym przypadku ta zero-jedynkowa.

[max123321]

A macierz przekształcenia w bazie wektorów własnych wyszła mi:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} 1&0\\0&3 \end{array}\right]}\)
Dobrze?