Rozkład wektora na części

[Dario1]

Są wektory:
\(\displaystyle{ a=\left[ \frac{3}{10} , \frac{6}{10} , \frac{6}{10} \right]}\)
\(\displaystyle{ b=\left[ -1, -2 , -2 \right]}\)
Wyznacz rozkład wektora \(\displaystyle{ a}\) na część równoległą i prostopadłą do wektora \(\displaystyle{ b}\).

[miodzio1988]

Gdzie się gubisz zatem?

[Dario1]

Tak jak napisałem.

[Kacperdev]

Jakiej postaci są wszystkie wektory prostopadłe do \(\displaystyle{ b}\) i równoległe do \(\displaystyle{ b}\)?

[miodzio1988]

Tak jak napisałem.

Napisałeś treść zadania. Co sam wymyśliłeś?

[Dario1]

nic nie wymyśliłem.

[Premislav]

Wskazówka: Twój wektor
\(\displaystyle{ a}\) to jest \(\displaystyle{ - \frac{3}{10}\cdot b}\).

[Dario1]

No, ok, a jest jakaś ogólna procedura, aby te części powyznaczać? Ja wyliczyłem, iloczyn skalarny i wektorowy i wyszło mi, że te wektory są równoległe z tym, że mają przeciwne zwroty.

[Premislav]

Można znaleźć rzut ortogonalny Twojego wektora \(\displaystyle{ a}\) na prostą rozpinaną przez wektor \(\displaystyle{ b}\) - wektor \(\displaystyle{ a'}\) będący tymże rzutem musi spełniać
\(\displaystyle{ \left\langle a-a', b\right\rangle =0}\) (zerowy iloczyn skalarny).

No i wtedy, gdy go znajdziesz, to zapisujesz waszmość \(\displaystyle{ a=a-a'+a'}\) i voila.

[M Maciejewski]

Ja lubię myśleć w ten sposób (równoważny do tego, co powyżej napisał Premislav):

Skoro mam znaleźć rozkład wektora \(\displaystyle{ a}\), to piszę: \(\displaystyle{ a=a_\parallel+a_\bot}\), przy czym \(\displaystyle{ a_\parallel\parallel b}\) i \(\displaystyle{ a_\bot\bot b}\). Zatem \(\displaystyle{ a_\parallel=\alpha\cdot b}\). Mam więc \(\displaystyle{ a=\alpha\cdot b+a_\bot}\).
Teraz obustronnie mnożę skalarnie przez \(\displaystyle{ b}\):
\(\displaystyle{ a=\alpha\cdot b+a_\bot\ /\ \langle\cdot,b\rangle}\)
\(\displaystyle{ \langle a,b\rangle=\alpha\cdot \langle b,b\rangle+\langle a_\bot,b\rangle}\).