Podać przykład wielomianu niezerowego ortogonalnego

[Frynio]

Witam. Mam takie zadanie:

Iloczyn skalarny (w przestrzeni \(\displaystyle{ R_{[x]}}\)) określony jest wzorem \(\displaystyle{ (p,q)= \int_{0}^{1}p(x)q(x)dx}\)

b) podaj przykład wielomianu niezerowego możliwie najniższego stopnia ortogonalnego do każdego
z wielomianów \(\displaystyle{ x-1, x^2}\)

Jak mam to zrobić? Próbowałem liczyć z ortogonalizacji Grama-Schmidta, ale wyszło mi \(\displaystyle{ x^2+\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}}\), a w odpowiedziach jest, że np. \(\displaystyle{ 50x^2-52x+9}\)

[NogaWeza]

Czy na pewno przeprowadziłeś ortogonalizację Grama-Schmidta poprawnie? Mam podejrzenie, że \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} x^2 \left( x^2+\frac{1}{4}x-\frac{1}{4} \right) \dd x \neq 0}\)...

[Frynio]

Wygląda na to, że nie Ale to jest metoda na zrobienie tego zadania?

[M Maciejewski]

Wygląda na to, że nie Ale to jest metoda na zrobienie tego zadania?

Piszesz, że niepoprawnie użyłeś metody, a potem pytasz, czy w takim razie jest na to metoda? Zrób poprawnie, i wtedy zobacz, czy jest ok.

A nie możesz zrobić tak? Skoro ma to być wielomian możliwie najniższego stopnia, to poszukajmy wielomianu postaci \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\). Poszukajmy, dla jakich \(\displaystyle{ a,b,c}\), ten wielomian jest ortogonalny do podanych.