Obrót wokół prostej

[Neyo]

Mam pytanie odnośnie zadania:

W \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) znaleźć wzór na przekształcenie będące obrotem wokół prostej \(\displaystyle{ L:\ (1,0,3)+lin((1,1,1))}\) o kąt \(\displaystyle{ 60}\) stopni zgodnie z orientacją \(\displaystyle{ T(L)}\) zadaną przez bazę \(\displaystyle{ A = \{(1,0,-1), (1,-1,0)\}}\).

Żeby wykonać takie zadanie, trzeba skonstruować bazę ortonormalną z wektorów \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ (1,1,1)}\). Skonstruować macierz
\(\displaystyle{ \[
B =
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
0 & \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{-1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}}
\end{bmatrix}
\]}\) z tych wektorów oraz macierz \(\displaystyle{ \[
M =
\begin{bmatrix}
\cos (\pi/3) & -\sin (\pi/3) & 0 \\
\sin (\pi/3) & \cos (\pi/3) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]}\)

oraz przemnożyć macierze \(\displaystyle{ BMB^{T}}\) otrzymując nasze przekształcenie, czy wszystko jest dobrze zrobione?, jak ma się do tego orientacja? i co zrobić z punktem \(\displaystyle{ (1,0,3)}\) z prostej \(\displaystyle{ L}\)?

[M Maciejewski]

Obawiam się, że źle wyznaczyłeś tę bazę, ponieważ nie są to wektory ortogonalne.
Jak już znajdziesz poprawną, o kolumnach \(\displaystyle{ [v_1,v_2,v_3]}\), gdzie \(\displaystyle{ v_3\parallel (1,1,1)}\), należy sprawdzić, czy \(\displaystyle{ v_1\times v_2}\) jest skierowane w tę samą stronę, co \(\displaystyle{ (1,0,-1),(1,-1,0)}\). Ortogonalizacja Grama-Schmidta da właśnie takie wektory. To właśnie zapewni wybranie dobrej orientacji. Tak skonstruowane odwzorowanie \(\displaystyle{ F}\) będzie obrotem wokół prostej \(\displaystyle{ \mathrm{lin}\{(1,1,1)\}}\). Należy teraz to przesunąć o wektor \(\displaystyle{ w=(1,0,3)}\) i przestanie to być od-nie liniowe. Zatem szukane od-nie będzie postaci:
G(u)=F(u-w)+w.