Uogólnienie faktu o komutujących macierzach.

[Naed Nitram]

Niech \(\displaystyle{ A,B\in \mbox{GL}(\mathbb R^n)}\), \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{R}^n}\). Połóżmy

\(\displaystyle{ f(X)=AX+a}\)

\(\displaystyle{ g(X)=BX+b}\)

Załóżmy teraz, że dla pewnego \(\displaystyle{ k\in \mathbb{N}}\)

\(\displaystyle{ f\circ g=g\circ f^{(k)}}\)

oraz, że \(\displaystyle{ a\notin \mbox{Im} (A-I)}\).

Czy wówczas macierze \(\displaystyle{ A, B}\) mają wspólny wektor własny?

\(\displaystyle{ f^{(k)}}\) oznacza złożenie \(\displaystyle{ f}\) \(\displaystyle{ k}\) razy, \(\displaystyle{ I}\) to macierz identyczności.