Przekształcenie liniowe ma macierz w bazie B

[wojtek915]

Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ L: R ^{3} \rightarrow R ^{3}}\) ma w bazie
\(\displaystyle{ B= \left\{ \vec{v _{1} } , \vec{v _{2} } , \vec{v _{3} } \right\}}\)

macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&3\\0&2&0\\2&0&3\end{array}\right]}\)

Obliczyć:
\(\displaystyle{ L \left( \vec{v _{1} } -2 \vec{v _{2} } + \vec{v _{3} } \right)}\)
\(\displaystyle{ L ^{3} \left( \vec{v _{1} } -2 \vec{v _{2} } + \vec{v _{3} } \right)}\)
\(\displaystyle{ L ^{-1} \left( \vec{v _{1} } +2 \vec{v _{2} } +3 \vec{v _{3} } \right)}\)

Zrobiłem pierwszy przykład:
\(\displaystyle{ L \vec{v _{1} }= \left( \vec{v _{1} } +2 \vec{v _{3} } \right)}\)
\(\displaystyle{ L\vec{v _{2} }= \left( -2 \vec{v _{2} } } \right)}\)
\(\displaystyle{ L\vec{v _{3} } = \left( 3 \vec{v _{1} } +3 \vec{v _{3} } \right)}\)



\(\displaystyle{ L \left( \vec{v _{1} } -2 \vec{v _{2} } + \vec{v _{3} } \right)=L \left( \vec{v _{1} }\right) - 2L\left( \vec{v _{2} }\right) + L \left( \vec{v _{3} }\right) = 4 \vec{v _{1} } -4 \vec{v _{4} } +5 \vec{v _{1} }}\)

Ale jak się odnieść do tego \(\displaystyle{ L ^{3}}\) to nie mam pojęcia
Znam wynik, ma być: \(\displaystyle{ L ^{3} \left( \vec{v _{1} } -2 \vec{v _{2} } + \vec{v _{3} } \right)=88 \vec{v _{1} } -16 \vec{v _{4} } +107 \vec{v _{1} }}\)

[Piotrekkk]

Teraz do wyniku \(\displaystyle{ L \left( \vec{v _{1} } -2 \vec{v _{2} } + \vec{v _{3} } \right)=4 \vec{v _{1} } -4 \vec{v _{2} } +5 \vec{v _{3}}}\) (masz tam literówkę z indeksami wektorów w wyniku) jeszcze dwa razy odwzorowanie \(\displaystyle{ L}\).
Masz zatem
\(\displaystyle{ L ^{2} \left( \vec{v _{1} } -2 \vec{v _{2} } + \vec{v _{3} } \right)=
L(4 \vec{v _{1} } -4 \vec{v _{2} } +5 \vec{v _{3} }) = 19\vec{v _{1}}-8\vec{v _{2}}+23 \vec{v _{3}}.}\)
I dalej już chyba łatwo.

[wojtek915]

OK, ale ja zrobić ten przykład:
\(\displaystyle{ L ^{-1} \left( \vec{v _{1} } +2 \vec{v _{2} } +3 \vec{v _{3} } \right)}\)

To jest odwrotne przekształcenie?

Próbowałem zrobić macierz odwrotną i wtedy policzyć ale nie wychodzi.

[Piotrekkk]

A co dokładnie nie wychodzi? Wyznacznik macierzy jest różny od zera, więc macierz jest odwracalna.

[wojtek915]

Zrobiłem macierz odwrotną

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0& \frac{1}{2} &0\\\frac{2}{3}&0&\frac{-1}{3}\end{array}\right]}\)


No i wynik mi wyszedł:


\(\displaystyle{ L \vec{v _{1} }= \left( -\vec{v _{1} } + \vec{v _{3} } \right)}\)
\(\displaystyle{ L\vec{v _{2} }= \left( \frac{1}{2} \vec{v _{2} } } \right)}\)
\(\displaystyle{ L\vec{v _{3} } = \left( \frac{2}{3} \vec{v _{1} } -\frac{1}{3} \vec{v _{3} } \right)}\)


\(\displaystyle{ L ^{-1} \left( \vec{v _{1} } + 2 \vec{v _{2} } +3 \vec{v _{3} } \right)= \vec{v _{1} } + \vec{v _{2} }}\)

A wynik w książce jest inny