Uzasadnić, czy podane przekształcenie jest liniowe. Wskazać

[wojtek915]

Uzasadnić, czy podane przekształcenie jest liniowe. Wskazać wzór przekształcenia.

a) \(\displaystyle{ L: R ^{3} \rightarrow R ^{3}}\), rzut prostokątny na podaną płaszczyznę.
b) \(\displaystyle{ L: R ^{3} \rightarrow R ^{3}}\), symetria względem podanej płszczyzny.
c) \(\displaystyle{ L: R ^{2} \rightarrow R ^{2}}\), obrót względem ustalonego punktu.
d) \(\displaystyle{ L: R _{3}[x] \rightarrow R _{2}[x]}\), różniczkowanie.

[M Maciejewski]

Tak na szybko:
a) zależy od płaszczyzny \(\displaystyle{ P}\) (czy \(\displaystyle{ 0\in P}\))
b) jak w a.
c) Zależy, czy punkt a jest równy (0,0)
d) jest to liniowy.

W pierwszych trzech wystarczy zbadać obraz punktu zero (a więc (0,0,0) lub (0,0) ). W przekształceniach liniowych zero jest odwzorowywane na zero.

[wojtek915]

Nie rozumiem, mogłbyś rozpisać to bardziej dokładnie. Wiem jak wygląda poszczególny rzut, ale nie wiem jak to odnieść do tego zadania.

[M Maciejewski]

Niech \(\displaystyle{ \theta}\) będzie zerem w danej przestrzeni liniowej. Wtedy jeśli odwzorowanie \(\displaystyle{ L}\) jest liniowe, to \(\displaystyle{ L(\theta)=\theta}\) (prosty warunek konieczny liniowości).

a) Jeśli \(\displaystyle{ \theta\notin P}\), to ponieważ \(\displaystyle{ L(\theta)\in P}\), więc \(\displaystyle{ L(\theta)\neq\theta}\). Zatem wtedy \(\displaystyle{ L}\) nie jest liniowe.

b) Podobnie tutaj, jeśli \(\displaystyle{ \theta\notin P}\), to gdyby \(\displaystyle{ L(\theta)=\theta}\), to \(\displaystyle{ \theta}\) należałaby do \(\displaystyle{ P}\) (jedynie punkty z płaszczyzny są odwzorowywane na siebie), a tak nie jest.
Stąd \(\displaystyle{ L(\theta)\neq\theta}\) i wtedy \(\displaystyle{ L}\) nie jest liniowe.

c) Tak samo. Aby \(\displaystyle{ L(\theta)=\theta}\), musiałby to być obrót wokół \(\displaystyle{ \theta}\) (lub obrót o kąt \(\displaystyle{ 2\cdot k\cdot \pi,\ k\in\mathbb Z}\)). Jeśli więc rozpatrujemy obrót wokół innego punktu, to z pewnością nie jest to odwzorowanie liniowe.

Inna kwestia to pokazanie, że jeśli \(\displaystyle{ \theta\in P}\) w (a) i (b) oraz obrót jest wokół \(\displaystyle{ \theta}\) w (c), to są to od-nia liniowe.

d) Jest to odwzorowanie liniowe, ponieważ
\(\displaystyle{ L(\alpha f+\beta g) = (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'= \alpha L(f)+\beta L(g)}\)