Uzasadnij wzór

[marlena1795]

Witam. Mam uzasadnić wzór dla \(\displaystyle{ M^n}\), gdzie \(\displaystyle{ M =\left[\begin{array}{cc}-2&3\\1&2\end{array}\right]}\).
Obliczam pierwsze potęgi i mam :

\(\displaystyle{ M^2=\left[\begin{array}{cc}7&0\\0&7\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ M^3=\left[\begin{array}{cc}-14&21\\7&14\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ M^4=\left[\begin{array}{cc}49&0\\0&49\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ M^5=\left[\begin{array}{cc}-98&147\\49&98\end{array}\right]}\)

Widzę tu dwie zależności, dla potęg parzystych i nieparzystych.
Dla \(\displaystyle{ n=2k}\) mam:

\(\displaystyle{ M^{n}=\left[\begin{array}{cc}7 \cdot \frac{n}{2} &0\\0&7 \cdot \frac{n}{2} \end{array}\right]}\)

Dla \(\displaystyle{ n=2k+1}\):

\(\displaystyle{ M^{n}=M^{n-2} \cdot 7}\)

Tylko teraz nie wiem jak to udowodnić...

[NogaWeza]

Podobne zadania widziałem w Algebrze liniowej Skoczylasa, tam takie zadania były kończone indukcyjnie po zauważeniu jakichś prawidłowości. Ewentualnie zostaje twierdzenie Jordana o rozkładzie macierzy - ta akurat powinna być diagonalizowalna, a potem po prostu podniesienie elementów na przekątnej do potęgi \(\displaystyle{ n}\) (bo tak się potęguje macierze diagonalne).