Witam. Mam uzasadnić wzór dla \(\displaystyle{ M^n}\), gdzie \(\displaystyle{ M =\left[\begin{array}{cc}-2&3\\1&2\end{array}\right]}\).
Obliczam pierwsze potęgi i mam :
\(\displaystyle{ M^2=\left[\begin{array}{cc}7&0\\0&7\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ M^3=\left[\begin{array}{cc}-14&21\\7&14\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ M^4=\left[\begin{array}{cc}49&0\\0&49\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ M^5=\left[\begin{array}{cc}-98&147\\49&98\end{array}\right]}\)
Widzę tu dwie zależności, dla potęg parzystych i nieparzystych.
Dla \(\displaystyle{ n=2k}\) mam:
\(\displaystyle{ M^{n}=\left[\begin{array}{cc}7 \cdot \frac{n}{2} &0\\0&7 \cdot \frac{n}{2} \end{array}\right]}\)
Dla \(\displaystyle{ n=2k+1}\):
\(\displaystyle{ M^{n}=M^{n-2} \cdot 7}\)
Tylko teraz nie wiem jak to udowodnić...
Uzasadnij wzór
-
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 27 cze 2015, o 21:28
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lublin
Uzasadnij wzór
Ostatnio zmieniony 15 maja 2016, o 23:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] . Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
- NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Uzasadnij wzór
Podobne zadania widziałem w Algebrze liniowej Skoczylasa, tam takie zadania były kończone indukcyjnie po zauważeniu jakichś prawidłowości. Ewentualnie zostaje twierdzenie Jordana o rozkładzie macierzy - ta akurat powinna być diagonalizowalna, a potem po prostu podniesienie elementów na przekątnej do potęgi \(\displaystyle{ n}\) (bo tak się potęguje macierze diagonalne).