Widmo macierzy

[Tyfon]

Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ \lambda \in \sigma (A)}\) dla pewnej macierzy \(\displaystyle{ A \in M_n(\mathbb{C})}\), to \(\displaystyle{ \lambda ^k \in \sigma (A^k)}\) dla dowolnego wykładnika \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}}\).

Nie wiem jak zacząć, ktoś może ma jakiś pomysł?

[Peter Zof]

Popatrz dla \(\displaystyle{ k=2}\). Skoro \(\displaystyle{ \lambda \in \sigma(A)}\), wiec istnieje niezerowy \(\displaystyle{ v}\) taki że,
\(\displaystyle{ Av=\lambda v}\). Sprawdźmy, że \(\displaystyle{ \lambda^2 \in \sigma(A^2)}\). Mamy, że \(\displaystyle{ A^2v=A(Av)=A\lambda v=\lambda A v=\lambda^2 v}\).