Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ \lambda \in \sigma (A)}\) dla pewnej macierzy \(\displaystyle{ A \in M_n(\mathbb{C})}\), to \(\displaystyle{ \lambda ^k \in \sigma (A^k)}\) dla dowolnego wykładnika \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}}\).
Nie wiem jak zacząć, ktoś może ma jakiś pomysł?
Widmo macierzy
-
- Użytkownik
- Posty: 116
- Rejestracja: 10 sty 2015, o 12:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 1 raz
Widmo macierzy
Ostatnio zmieniony 14 maja 2016, o 18:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nawiasy klamrowe to \{, \}.
Powód: Nawiasy klamrowe to \{, \}.
- Peter Zof
- Użytkownik
- Posty: 585
- Rejestracja: 30 cze 2012, o 16:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa (MIMUW) / Pułtusk
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 66 razy
Widmo macierzy
Popatrz dla \(\displaystyle{ k=2}\). Skoro \(\displaystyle{ \lambda \in \sigma(A)}\), wiec istnieje niezerowy \(\displaystyle{ v}\) taki że,
\(\displaystyle{ Av=\lambda v}\). Sprawdźmy, że \(\displaystyle{ \lambda^2 \in \sigma(A^2)}\). Mamy, że \(\displaystyle{ A^2v=A(Av)=A\lambda v=\lambda A v=\lambda^2 v}\).
\(\displaystyle{ Av=\lambda v}\). Sprawdźmy, że \(\displaystyle{ \lambda^2 \in \sigma(A^2)}\). Mamy, że \(\displaystyle{ A^2v=A(Av)=A\lambda v=\lambda A v=\lambda^2 v}\).