Matematyka.pl

Szanowni Państwo

Na początek chciałbym przeprosić moderatorów i administratora za to że może umieściłem post w złej kategorii i prosiłbym w tej sytuacji o przeniesienie go do właściwej.

Miałbym prośbę, czy mógł by mi ktoś wytłumaczyć jak się oblicza rzędy elementów dla przykładu z tego \(\displaystyle{ g}\)

\(\displaystyle{ g = ft( \begin{array}{cccccccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
3 & 10 & 5 & 2 & 6 & 1 & 9 & 4 & 7 & 8 \\
\end{array}\right)}\)

Z góry dziękuje za pomoc

Pierwsza metoda,to ma piechotę. Składamy permutacje tyle razy,aż dostaniemy identyczność. Czasem może okazać się pracochłonna,gdy element jest np rzedu 20.

Druga metoda wydaje mi się,że jest mniej pracochłonna i przyjemniejsza.
Zapisujemy dana permutację za pomocą cykli,czyli:
\(\displaystyle{ g=(1,3,5,6) \circ (2,10,8,4) \circ (7,9)}\)
Wprowadzmy oznaczenia:
a=(1,3,5,6), b=(2,10,8,4), c=(7,9)
Ponieważ rząd cyklu jest równy jego długości,więc:
\(\displaystyle{ a^{4}=a \circ a \circ a \circ a =id, b^{4}=b \circ b \circ b \circ b =id, c^{2}= c \circ c =id}\)
Zatem łatwo zauważyć,że \(\displaystyle{ g^{4}=id}\),bo:
\(\displaystyle{ g^{2}=a^{2} \circ b^{2} \circ c^{2}= a^{2} \circ b^{2} \not = id}\)
\(\displaystyle{ g^{3}=a^{3} \circ b^{3} \circ c \not = id}\)
\(\displaystyle{ g^{4}= a^{4} \circ b^{4} \circ c^{2} = id \circ id \circ id =id}\)
Stąd rząd elementu g jest równy 4.

Dzięki wielkie za pomoc

Dla pewności jeśli by miał dane takie \(\displaystyle{ h}\)

\(\displaystyle{ h = ft( \begin{array}{cccccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
6 & 4 & 1 & 3 & 7 & 2 & 5 \\
\end{array}\right)}\)


\(\displaystyle{ h=(1,6,2,4,3) \circ (5,7)}\)
\(\displaystyle{ a^{5} = a \circ a \circ a \circ a \circ a = id, b^{2} = b \circ b =id}\)
\(\displaystyle{ h^{5} = id}\)
to jego rząd elementów będzie równy 5 tylko nie wiem czemu w przykładzie który mieliśmy podany przez wykladowce wynik był 10

Rząd h jest równy 10.
Zobacz:
\(\displaystyle{ h^{5}=a^{5} \circ b^{5}= id \circ b^{2} \circ b^{2} \circ b = b \not = id}\)
Dopiero
\(\displaystyle{ id=h^{10}= a^{10} \circ b^{10}= (a^{5})^{2} \circ (b^{2})^{5}= id \circ id}\)
Najlepiej sobie to zawsze rozpisać.
----------------------------------
Lemacik
Jeżeli \(\displaystyle{ g=a_{1} \circ ... \circ a_{n}}\),rząd \(\displaystyle{ a_{i}=k_{i}}\) dla i=1,...,n oraz \(\displaystyle{ k_{i},k_{j}}\) (dla \(\displaystyle{ i \not = j}\)) są względnie pierwsze to rząd elementu g jest równy najmniejszej wspólnej wielokrotności \(\displaystyle{ k_{i},k_{j}}\)
----------------------------------
Ten lemat mozna zastosować do elementu h, bo (2,5)=1,czyli \(\displaystyle{ \circ (h)=NWW[2,5]=10}\)