Witam.
Mam problem z zadaniem. Należy znaleźć wartości parametru p, dla których wektory tworzą bazę.
\(\displaystyle{ B=\left\{x ^{2}+px+1; x+p; px ^{2}+x+1 \right\} R _{2}[x]}}\)
Korzystam z warunku na bazę, sprawdzam niezależność zakładając, że:
\(\displaystyle{ \alpha _{1} (x ^{2}+px+1)+ \alpha _{2}(x+p)+ \alpha _{3}(px ^{2}+x+1)=0}\)
wynika z tego, że:
\(\displaystyle{ (\alpha _{1}+p\alpha _{3})x ^{2}+(p\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3})x+\alpha _{1}+\alpha _{2}p+\alpha _{3}=0}\)
i nie wiem co dalej? Robić układ równań ze wszystkiego i równać do zera?
Dodatkowo mam pytanie, czy jeśli dwa wektory są liniowo niezależne to na pewno są bazą w \(\displaystyle{ R ^{2}}\)? Analogicznie trzy dla \(\displaystyle{ R ^{3}}\) itd. ?
Dla jakich wartości parametru p podane zbiory tworzą bazę.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Dla jakich wartości parametru p podane zbiory tworzą bazę.
Chcesz, aby z tego, że kombinacja liniowa tych wektorów jest zerowa wynikało, że każdy skalar jest zerowy, tj. żądasz byi nie wiem co dalej? Robić układ równań ze wszystkiego i równać do zera?
\(\displaystyle{ \alpha _{1} (x ^{2}+px+1)+ \alpha _{2}(x+p)+ \alpha _{3}(px ^{2}+x+1)=0 \Rightarrow \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0}\)
Zatem bierzesz taki układ równań (to dobrze zacząłeś):
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_{1}+p\alpha_{3}=0 \\p\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}=0\\ \alpha_{1}+p\alpha_{2}+\alpha_{3}=0 \end{cases}}\)
i to jest układ trzech równań z parametrem \(\displaystyle{ p}\). Sprawdzasz, dla jakich wartości \(\displaystyle{ p}\) jedynym rozwiązaniem tego układu równań jest trójka \(\displaystyle{ (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})=(0,0,0)}\)
Tak.Dodatkowo mam pytanie, czy jeśli dwa wektory są liniowo niezależne to na pewno są bazą w \(\displaystyle{ R ^{2}}\)? Analogicznie trzy dla \(\displaystyle{ R ^{3}}\) itd. ?
-
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 20 kwie 2016, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wroclaw
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 3 razy
Dla jakich wartości parametru p podane zbiory tworzą bazę.
Wg moich obliczeń wynik powinien wyjść:
\(\displaystyle{ p \neq 1}\)
\(\displaystyle{ p \neq \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}}\)
\(\displaystyle{ p \neq \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}}\)
Ostatnie równanie z których wynikają te odpowiedzi to:
\(\displaystyle{ \alpha _{3}\left( p^{3}-2p+1 \right)=0}\)
Z tego wynika, że:
\(\displaystyle{ p^{3}-2p+1 \neq 0}\)
\(\displaystyle{ p \neq 1}\)
\(\displaystyle{ p \neq \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}}\)
\(\displaystyle{ p \neq \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}}\)
Ostatnie równanie z których wynikają te odpowiedzi to:
\(\displaystyle{ \alpha _{3}\left( p^{3}-2p+1 \right)=0}\)
Z tego wynika, że:
\(\displaystyle{ p^{3}-2p+1 \neq 0}\)