Wykazać, że \(\displaystyle{ lin\left\{ \vec{u}, \vec{v} \right\} = lin\left\{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \right\}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}}\) są liniowo zależne.
Zrobiłem tak:
Jeżeli \(\displaystyle{ lin\left\{ \vec{u}, \vec{v} \right\} = lin\left\{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \right\}}\) to:
\(\displaystyle{ lin\left\{ \vec{u}, \vec{v} \right\} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{v} = lin\left\{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \right\}}\), (każdy wektor należący do bazy można przedstawić za pomocą tych dwóch wektorów)
zatem aby to była prawda:
\(\displaystyle{ \vec{w}= \alpha_{1} \vec{u} + \beta_{1} \vec{v},}\)
Proszę o sprawdzenie
Baza wektorów. Wykazać zależność wektorów.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Baza wektorów. Wykazać zależność wektorów.
To nie jest dowód. W szczególności ta równość:
-- 8 maja 2016, o 16:43 --
1. Pokażę, że jeśli
\(\displaystyle{ lin\left\{ \vec{u}, \vec{v} \right\} = lin\left\{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \right\}}\), to
wektory \(\displaystyle{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}}\) są liniowo zależne.
Istotnie, skoro \(\displaystyle{ lin\left\{ \vec{u}, \vec{v} \right\} = lin\left\{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \right\}}\), to w szczególności \(\displaystyle{ \vec{w} \in lin\left\{ \vec{u}, \vec{v} \right\}}\), a zatem istnieją takie skalary \(\displaystyle{ \alpha_{1}, \alpha_{2}}\), że\(\displaystyle{ \alpha_{1}\vec{u}+\alpha_{2}\vec{v}=\vec{w}}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ \vec{w}-\alpha_{1}\vec{u}-\alpha_{2}\vec{v}=\vec{0}}\)
Współczynnik przy \(\displaystyle{ \vec{w}}\) jest niezerowy (\(\displaystyle{ \vec{w}=1\cdot \vec{w}}\)), zatem
wektory \(\displaystyle{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}}\) są liniowo zależne.
2. Akurat implikacja w drugą stronę nie zachodzi, weźmy
\(\displaystyle{ \vec{u}=(1,0), \vec{v}=(2,0),\vec{w}=(0,1) \in \RR^{2}}\)
Jako trzy wektory w przestrzeni liniowej wymiaru dwa są one liniowo zależne, lecz
\(\displaystyle{ \left\{ (x,0): x \in \RR\right\}= lin\left\{ (1,0),(2,0)\right\} \neq lin\left\{ (1,0),(2,0),(0,1)\right\} =\RR^{2}}\)-- 8 maja 2016, o 16:49 --Być może brakuje jakiegoś założenia, np. liniowej niezależności \(\displaystyle{ \vec{u}}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}}\).
jest bez sensu. Napisałeś, że zbiór jest wektorem.\(\displaystyle{ lin\left\{ \vec{u}, \vec{v} \right\} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{v}}\)
-- 8 maja 2016, o 16:43 --
1. Pokażę, że jeśli
\(\displaystyle{ lin\left\{ \vec{u}, \vec{v} \right\} = lin\left\{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \right\}}\), to
wektory \(\displaystyle{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}}\) są liniowo zależne.
Istotnie, skoro \(\displaystyle{ lin\left\{ \vec{u}, \vec{v} \right\} = lin\left\{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \right\}}\), to w szczególności \(\displaystyle{ \vec{w} \in lin\left\{ \vec{u}, \vec{v} \right\}}\), a zatem istnieją takie skalary \(\displaystyle{ \alpha_{1}, \alpha_{2}}\), że\(\displaystyle{ \alpha_{1}\vec{u}+\alpha_{2}\vec{v}=\vec{w}}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ \vec{w}-\alpha_{1}\vec{u}-\alpha_{2}\vec{v}=\vec{0}}\)
Współczynnik przy \(\displaystyle{ \vec{w}}\) jest niezerowy (\(\displaystyle{ \vec{w}=1\cdot \vec{w}}\)), zatem
wektory \(\displaystyle{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}}\) są liniowo zależne.
2. Akurat implikacja w drugą stronę nie zachodzi, weźmy
\(\displaystyle{ \vec{u}=(1,0), \vec{v}=(2,0),\vec{w}=(0,1) \in \RR^{2}}\)
Jako trzy wektory w przestrzeni liniowej wymiaru dwa są one liniowo zależne, lecz
\(\displaystyle{ \left\{ (x,0): x \in \RR\right\}= lin\left\{ (1,0),(2,0)\right\} \neq lin\left\{ (1,0),(2,0),(0,1)\right\} =\RR^{2}}\)-- 8 maja 2016, o 16:49 --Być może brakuje jakiegoś założenia, np. liniowej niezależności \(\displaystyle{ \vec{u}}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}}\).
-
wojtek915
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 20 kwie 2016, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wroclaw
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 3 razy
Baza wektorów. Wykazać zależność wektorów.
Chodziło mi o to, że każdy wektor należący do tego zbioru można zapisać w taki sposób, jako kombinacje tych dwóch wektorów.wojtek915 pisze: \(\displaystyle{ lin\left\{ \vec{u}, \vec{v} \right\} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{v}}\)
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Baza wektorów. Wykazać zależność wektorów.
No to sorry, trochę przegiąłem, bo sprawdzałem do pierwszego błędu, a dalej już olałem.
Można to zapisać np. tak (zakładamy, że przestrzeń liniowa jest nad ciałem \(\displaystyle{ K}\)):
\(\displaystyle{ lin\left\{ \vec{u}, \vec{v} \right\} =\left\{ \alpha \vec{u}+\beta \vec{v}: \alpha, \beta \in K\right\}}\).
Jak patrzę, to rozumowanie jest OK, tylko zapis był słaby. Tylko to jest wykazanie, że
jeśli
\(\displaystyle{ lin\left\{ \vec{u}, \vec{v} \right\} = lin\left\{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \right\}}\),
to wektory są liniowo zależne, a została jeszcze (błędna!) implikacja w drugą stronę.
Na pewno przepisałeś wszystkie założenia?
Można to zapisać np. tak (zakładamy, że przestrzeń liniowa jest nad ciałem \(\displaystyle{ K}\)):
\(\displaystyle{ lin\left\{ \vec{u}, \vec{v} \right\} =\left\{ \alpha \vec{u}+\beta \vec{v}: \alpha, \beta \in K\right\}}\).
Jak patrzę, to rozumowanie jest OK, tylko zapis był słaby. Tylko to jest wykazanie, że
jeśli
\(\displaystyle{ lin\left\{ \vec{u}, \vec{v} \right\} = lin\left\{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \right\}}\),
to wektory są liniowo zależne, a została jeszcze (błędna!) implikacja w drugą stronę.
Na pewno przepisałeś wszystkie założenia?