Wykazać, że wektory są liniowo niezależne
-
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 20 kwie 2016, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wroclaw
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 3 razy
Wykazać, że wektory są liniowo niezależne
Wykazać, że jeżeli wektory \(\displaystyle{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}}\) są liniowo niezależne a wektory \(\displaystyle{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, \vec{z}}\)są liniowo zależne, to wektor \(\displaystyle{ \vec{z}}\) jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Wykazać, że wektory są liniowo niezależne
To, że wektory \(\displaystyle{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, \vec{z}}\) są liniowo zależne, oznacza, że istnieją takie skalary \(\displaystyle{ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}}\) - nie wszystkie równe \(\displaystyle{ 0}\)
dla których zachodzi \(\displaystyle{ \alpha_{1}\vec{u}+\alpha_{2}\vec{v}+\alpha_{3}\vec_w}+\alpha_{4}\vec{z}=\vec{0}}\). Weźmy taki układ skalarów i zauważmy, że gdyby było \(\displaystyle{ \alpha_{4}=0}\), to wbrew założeniu wektory \(\displaystyle{ \vec{u},\vec{v},\vec{w}}\) byłyby liniowo zależne. Zatem \(\displaystyle{ \alpha_{4}\neq 0}\), więc dzielimy równość stronami przez \(\displaystyle{ \alpha_{4}}\), przenosimy na drugą stronę i mamy
\(\displaystyle{ \vec{z}=- \frac{\alpha_{1}}{\alpha_{4}}\vec{u} - \frac{\alpha_{2}}{\alpha_{4}}\vec{v} - \frac{\alpha_{3}}{\alpha_{4}}\vec{w}}\) - niewątpliwie jest to kombinacja liniowa wektorów
\(\displaystyle{ \vec{u},\vec{v},\vec{w}}\).
dla których zachodzi \(\displaystyle{ \alpha_{1}\vec{u}+\alpha_{2}\vec{v}+\alpha_{3}\vec_w}+\alpha_{4}\vec{z}=\vec{0}}\). Weźmy taki układ skalarów i zauważmy, że gdyby było \(\displaystyle{ \alpha_{4}=0}\), to wbrew założeniu wektory \(\displaystyle{ \vec{u},\vec{v},\vec{w}}\) byłyby liniowo zależne. Zatem \(\displaystyle{ \alpha_{4}\neq 0}\), więc dzielimy równość stronami przez \(\displaystyle{ \alpha_{4}}\), przenosimy na drugą stronę i mamy
\(\displaystyle{ \vec{z}=- \frac{\alpha_{1}}{\alpha_{4}}\vec{u} - \frac{\alpha_{2}}{\alpha_{4}}\vec{v} - \frac{\alpha_{3}}{\alpha_{4}}\vec{w}}\) - niewątpliwie jest to kombinacja liniowa wektorów
\(\displaystyle{ \vec{u},\vec{v},\vec{w}}\).