Forma dwuliniowa nad przestrzenią macierzy

[Alystin]

Witam,
Potrzebuję pomocy w rozwiązaniu części zadania.
Trzeba znaleźć macierze podanych form dwuliniowych na odpowiadających im przestrzeniach liniowych. Naszukałem się już trochę, zarówno po tutejszym forum, jak i internecie, jednak w większości wypadków natrafiałem na formy dwuliniowe w \(\displaystyle{ R^n}\). Jedno z nielicznych odniesień do rozwiązania problemu natomiast poleca zabawę w "zgadywankę" ( ... m-a-b-trab) co samo w sobie nie jest dla mnie konkretnym rozwiązaniem. Stąd też i moje pytanie: jak taką macierz znaleźć w sposób formalny i możliwie sprawny?

\(\displaystyle{ F: M_{n*n}(R) \times M_{n*n}(R) \Rightarrow R}\)
\(\displaystyle{ 1) F(A,B)=tr(AB)}\)
\(\displaystyle{ 2) F(A,B)=tr(AB^{T})}\)

[a4karo]

Weź bazę w przestrzeni macierzy i zobacz jak się ta forma zachowuje na wektorach z bazy.

[Alystin]

Przyjąłem (na pierwszy rzut) że bazą są te macierze, które na jednej współrzędnej mają 1, a na pozostałych 0. Wtedy, ta forma dwuliniowa jeżeli wektory są od siebie różne (tzn. mają 1 w innym "miejscu") zwraca ślad =0, a kiedy są równe zwraca ślad =1. Nie za bardzo niestety wiem jak przybliża mnie to do rozwiązania, tzn: nie wiem jak przełożyć tą obserwację na szukaną macierz. Jedyne co mam to pewne przeczucie, że będzie to macierz z naprawdę pokaźną liczbą 0 i najpewniej wymiaru \(\displaystyle{ n^2 \times n^2}\), biorąc pod uwagę że przy takiej (i chyba dowolnej innej) bazie każdy wektor ma tyle współrzędnych (acz jeśli się mylę to prosiłbym o skorygowanie tej idei fix .)

[a4karo]

OK, a czym jest \(\displaystyle{ e_iAe_j}\)

[Alystin]

Edit: Dobrze jednak sam znalazłem błąd. Edytuje znów jak uda mi się (być może) do czegoś dojść albo znowu utknę.

[a4karo]

Z tymi iloczynami to chyba nie tak do końca: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0& 0\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0& 1\\0&0\end{bmatrix}=?}\)

[Alystin]

Dobrze, chyba na coś wpadłem: załóżmy że w naszej bazie pierwsze "n" wektorów, to te, które odpowiadają macierzom \(\displaystyle{ n \times n}\) z "1" na i,i - tej współrzędnej (czyli na kolejnych miejscach przekątnej). Wtedy taka macierz ma 1 na \(\displaystyle{ n}\)"pierwszych" miejsc przekątnej i 0 wszędzie indziej. Czy o to chodziło?

[a4karo]

Co to jest "taka macierz"?

Pokazałem Ci przykład, że Twoje rozumowanie odnośnie iloczynów macierzy nie było poprawne: sprawdż to.

Wsk: oznacz \(\displaystyle{ e_{ij}}\) macierz, która ma 1 w \(\displaystyle{ i}\)-tym wierszu i \(\displaystyle{ j}\)-tej kolumnie.

Czemu równa się ślad macierzy \(\displaystyle{ e_{ij}e_{kl}}\)?

[Alystin]

Wydaje mi się (po przeliczeniu paru przykładów i próbie ogólniejszego "ugryzienia" tematu) że:
jeżeli \(\displaystyle{ i=l \wedge j=k}\) to ślad jest równy 1. W innych wypadkach nawet jeśli macierz jest niezerowa, to będzie mieć 1 poza główną przekątną, czyli nie będzie miała wpływu na ślad.
Czy teraz jest dobrze?

[a4karo]

Takich rzeczy nie liczy sie na przykładach. Po prostu oblicz, czym jest \(\displaystyle{ e_{ij}e_{kl}}\) i wynik przedstaw w zależności od \(\displaystyle{ i,j,k,l}\)