Wyznaczyć wektor, który w tej bazie ma współrzędne...

[Michal199622]

Witam.
Potrzebuję pomocy w rozwiązaniu zadania.
Czy podany układ wielomianów jest liniowo niezależny w przestrzeni \(\displaystyle{ R[x] _{3}}\)nad\(\displaystyle{ R}\)?
\(\displaystyle{ {\frac{1}{3}x ^{2} +5x;-x ^{3} ;2x+1;5x}}\)
Wyznaczyć wektor, który w tej bazie ma współrzędne (2,1,-2,-1) Jakie będzie miał współrzędne, gdy zmienimy kolejność
wektorów w tej bazie?
To że ten układ jest liniowo niezależny udowodniłem, jednak nie rozumiem dalszej części zadania.

[Peter Zof]

Czy wiesz co oznaczają współrzędne wektora (tutaj wielomianu) w pewnej ustalonej bazie?

[Michal199622]

Niestety pomimo przeczytania teorii jakoś tego nie widzę. Chodzi o to, że wektory z bazy mają generować całą przestrzeń? I czy przyjmuję, że te wielomiany są moją bazą? Jeśli tak to chodzi o to,żeby pomnożyć po prostu każdy wektor z bazy przez odpowiednie współrzędne (2,1,-2,-1)?

[Peter Zof]

Może na przykładzie, jak masz bazę standardową w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\), daną jako \(\displaystyle{ \mathcal{B}=(e_1,e_2)}\),
gdzie \(\displaystyle{ e_1=(1,0)}\) oraz \(\displaystyle{ e_2=(0,1)}\), to każdy wektor \(\displaystyle{ (x,y) \in \mathbb{R}^2}\) zapisuje się jednoznacznie jako \(\displaystyle{ x \cdot e_1 + y \cdot e_2}\), stąd jego wektor współrzędnych w bazie \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) to po prostu \(\displaystyle{ (x,y)}\). Gdy wybierzemy bazę \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) jako \(\displaystyle{ \mathcal{C}=((1,3),(-1,0))}\) to wektor \(\displaystyle{ x=(-2,6)}\) ma w standardowej bazie współrzędne \(\displaystyle{ (-2,6)}\), a w bazie \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\) jego współrzędne to \(\displaystyle{ (2,4)}\) gdyż \(\displaystyle{ (-2,6)=2 \cdot (1,3) + 4 \cdot (-1,0)}\).