Czy W jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej V nad K

[Michal199622]

Witam.
Potrzebuję wyjaśnienia, czy \(\displaystyle{ W=\{(x,y)\in \RR ^{2}:x ^{2}=9y ^{2}\}}\)jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V= \RR^{2}}\) nad \(\displaystyle{ K=\RR}\)
najpierw zamieniłem wyrażenie \(\displaystyle{ x ^{2}=9y ^{2}}\) na \(\displaystyle{ |x|=3|y|}\)
i teraz warunek \(\displaystyle{ X+Y=(|x_1|,|y_1|)+(|x_2|,|y_2|)=(|x_1|+|x_2|,|y_1|+|y_2|)}\)
z \(\displaystyle{ |x_1|+|x_2|}\) nasza druga współrzędna powinna wyjść \(\displaystyle{ 3|y_1|+3|y_2|}\), ale widzimy, że po dodaniu wyszło \(\displaystyle{ |y_1|+|y_2|}\), a więc nie jest podprzestrzenią.Niestety jest to tylko moje rozumowanie, którego nie jestem pewien, ani tego czy to co zrobiłem ma jakikolwiek sens, dlatego bardzo proszę o pomoc.

[Premislav]

Lepiej podać konkretny kontrprzykład, bo akurat u Ciebie wszystko się zgadza, jeśli \(\displaystyle{ y_{1}=y_{2}=0}\). Doszedłeś do czegoś, co sugeruje Ci, że to nie jest podprzestrzeń liniowa, to teraz warto to skończyć, podstawiając jakieś konkretne punkty należące do \(\displaystyle{ W}\) tak, aby wyszło, że się nie zgadza.


Nie jest to podprzestrzeń liniowa \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) nad \(\displaystyle{ \RR}\). To jest suma dwóch prostych, tak jak to zapisałeś, jeśli weźmiesz np. punkty \(\displaystyle{ (3,1)}\) oraz \(\displaystyle{ (-3,1)}\) (ogólnie jakiekolwiek takie, że każdy należy tylko do jednej z tych prostych), to ich suma, czyli \(\displaystyle{ (0,2)}\) już nie spełnia warunku \(\displaystyle{ x^{2}=9y^{2}}\)

[Michal199622]

Rozumiem, bardzo dziękuję

[Medea 2]

W tym rozwiązaniu prawie nic się nie zgadza: nie rozumiem notacji oraz następującego po niej wytłumaczenia. Mnie to nie przekonało, gdyby bowiem zamienić \(\displaystyle{ x^2 = 9y^2}\) na \(\displaystyle{ x = 3y}\), pokazujemy nieprawdę.

[Michal199622]

To jak powinno według Ciebie to wyglądać?

[Medea 2]

i teraz warunek \(\displaystyle{ X+Y=(|x_1|,|y_1|)+(|x_2|,|y_2|)=(|x_1|+|x_2|,|y_1|+|y_2|)}\)
z \(\displaystyle{ |x_1|+|x_2|}\) nasza druga współrzędna powinna wyjść \(\displaystyle{ 3|y_1|+3|y_2|}\), ale widzimy, że po dodaniu wyszło \(\displaystyle{ |y_1|+|y_2|}\), a więc nie jest podprzestrzenią.

Ten fragment jest pozbawiony sensu. Rzeczywiście, gdybyśmy próbowali postąpić podobnie z nieco zmienionym zadaniem, to znaczy: \(\displaystyle{ W'=\{(x,y)\in \RR ^{2}:x = 3y\}}\), musielibyśmy napisać dokładnie to samo, ale bez znaczków wartości bezwzględnej. Problem w tym, że \(\displaystyle{ W'}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\).

Poprawne uzasadnienie dla \(\displaystyle{ W}\) podał Premislav: wektory \(\displaystyle{ (3, \pm 1)}\) należą do \(\displaystyle{ W}\), ale ich suma nie, a każda podprzestrzeń jest zamknięta na branie skończonych sum.

Poprawne uzasadnienie dla \(\displaystyle{ W'}\) jest takie, że jeżeli \(\displaystyle{ (3t_1, t_1)}\) oraz \(\displaystyle{ (3t_2, t_2)}\) należą do \(\displaystyle{ W}\) (\(\displaystyle{ t_1, t_2 \in \RR}\)), to wszystkie ich kombinacje liniowe też: \(\displaystyle{ \alpha (3t_1, t_1) + \beta (3t_2, t_2) = (3 \alpha t_1, \alpha t_1) + (3 \beta t_2, \beta t_2) = (3 (\alpha t_1 + \beta t_2), \alpha t_1 + \beta t_2)}\), czyli \(\displaystyle{ (3 t_3, t_3)}\) dla \(\displaystyle{ t_3 = \alpha t_1 + \beta t_2}\).

W podobny sposób pokazuje się, że suma mnogościowa dwóch podprzestrzeni jest ponownie podprzestrzenią tylko, gdy jedna z nich zawiera się w drugiej. W naszym przypadku:

\(\displaystyle{ W = \{(x,y) \in \RR ^{2}: x = 3y\} \cup \{(x,y) \in \RR ^{2}: x = -3y\}}\).